20 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



und dass daher eine beliebige neue partielle Differentialgleichung 1. O. des B^: 



(D"{Z, X„ X,, X„ P,, 1\, P3) = 



mit den zwei Gleicluiiigen (23) und (27) oo * Flächenelemente geniein hat, deren In- 

 begriff sicli als eine partielie Differentialgleichung 1. O. des i?^: 



X{z, X, y, p, g) = 



abbildet. Vereinigt liegenden Flächenelementen (Z X P) von (P'' = 0, (23), (27) werden 

 vereinigt liegende Flächenelemente {z x y p q) von 7 = entsprechen und umgekehrt. 

 Daher werden die Iritegralflächen der letzteren Gleichung Bilder gemeinsamer Integral-M,, 

 der drei Gleichungen ö> = 0, (ö' = 0, (Z)" = abgeben. Es miissen aber auch allgemein 

 drei beliebige partielle Differentialgleichungen erster Ordnung des i?4, die nicht mit 

 einander in Involution liegen, zweifach unendlich viele M2 und ihre Umhiillungen als 

 gemeinsame Integrale grösstmöglicher Dimensionszahl besitzen. (In meiner Abhand- 

 lung: tJber Systeme parlieller Di jj er cnti al gleichung en erster Ordnung in Bd. XI der Math. 

 Annalen habe ich ausfiihrlich iiber diesen Gegenstand gesprochen.) Eine einfache 

 Ableitung obigen Satzes geht aus dem Nächstfolgenden ohne weiteres hervor. 



§ 3. 



Erweiterung des Vorhergelieiideii mit iiaclifolgeiKler Spezializiening. 



12. Im Raurae B-, von fiinf Dimensionen, wo Z, X^, X^, X,., X^ die Koordi- 

 naten der Punkte bezeichnen mogen, gibt es partielle Differentialgleichungen erster 

 Ordnung mit einer vollständigen Lösung, die mit z, a',, X2, 2\ als arbiträren Konstanten 

 durch eine Gleichung: 



(28) f{z, x^, x^, x-3, Z, Z,, X2, X3, X^)=Q 



ausgedriickt wird, aber auch solche Differentialgleichungen mit einer durch zwei 

 Gleichungen : 



/(z, ,c,, x-i, X3, Z, X,, Xi, X^, XJ^O, 



(29) 



cp{ ) = 0, 



eder durch drei Gleichungen: 



/(z, .r,, x-j, .Tg, Z, Xi, X^, X3, X,) = 0, 



(30) rpi ) = 0, 



1^{ ) = o, 



öder endlich durch vier Gleichungen: 



