KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50- NIO 4. 21 



f{z, X-,, X,, Xs, Z, Xi, Xj, X3, XJ = 0, 

 fp{ ) = o. 



(31) 



^{ ) = 0, 



Z( ) = 



ausgedriickten vollständigen Lösung. Jedenfalls bekommen wir duroh jede Lösung 

 der angefiihrten Art eine Abbildung der hingehörenden partiellen Differentialgleichung 

 erster Ordnung des i?5 (ZX) auf den Raum Bi{z, x^, Xn, x^). Und hierbei wird 

 jedes Flächenelement {z x p) letzteren Raumes das Bild einer charakieristischen il/j 

 jener Gleichung, jede M^ des i?^ das Bild einer Integral-ilfa und endlich jede 31^ 

 desselben Bi das Bild einer Integral-Jf4 derselben partiellen Differentialgleichung 

 des B,. 



In den Fallen (29) — (31) haben wir partielie Differentialgleichungen spezieller 

 Art vor uns, bei denen die Flächenelemente derjenigen Integral- J/^, die den Punkten 

 {zx) des 7?4 entsprechen, an oo * M'^ bez. Ml, M[ häften. In dem besonderen Falle 



(31) ist die Differentialgleichung linear. 



Setzen wir unsere Betrachtungen iiber die Abbildung der partiellen Differential- 

 gleichungen 1. O. des Raumes B^{Z, Xy, X,, X^, X4) auf den Raum Bi{z, x^, x^, x^) 

 fort, so erkennen wir zunächst, wenn 



(32) 0{Z, X„ X„ X„ X,, P„ P„ P3, P,) = 



die partielle Differentialgleichung ist, die in der angegebenen Weise auf B^ bezogen 

 wird, und 



(33) 0,{Z, X,, X„ X,, X,, P., P,, P3, PJ = 



irgend eine neue partielie Differentialgleichung 1. O. desselben Raumes F^ bedeutet, 

 dass diese Gleichung ö)i = aus jeder charakteristischen Jfj von (/> = 0, die einem 

 Elemente {z Xi x., X3 pi p2 p^) des Bi entspricht, ein Flächenelement (ZX^ . . X^Pi . . PJ 

 ausscheidet. Aus dem weiter oben Gesagten folgt dann ein endlichdeutiger Zusam- 

 menhang zwischen den 00 ^ Elementen {zxi . . x^, . . pi . . p^) des B^ und den co ^ Flächen- 

 elementen der durch die zwei Gleichungen (32) und (33) definierten Figur, bei dem, 

 was hier vom besonderen Gewichte ist, vereinigt liegende Elemente {z x p) des 7?4 und 

 vereinigt liegende Elemente {Z X P) der letzteren Figur einander entsprechen. Die 

 ilf, , 3I2, M^ des i?4 werden somit als Bilder von Integral-il/j , Integral-ilfa, Integral- J/3 

 des Gleichungspaares (32), (33): 



© = 0, ö), = 



zu betrachten sein. 



Der fragliche Zusammenhang wird offenbar durch solche Gleichungen formu- 

 liert wie: 



