22 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDKUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Z^f(z, x^, X,, X3, p^, P2, P3), X,=i^{z, a;,, x^, x^, p,, p^, Ps), ^2 = 12 (z, Xi, x^, x^, p,, p,, 2)3) , 



(34) 



P^-fpÅ ), P2-fPÅ ), 



P. = ^PÅ ), p.=<pA ), 



die durch Auflösiing nach den kleinen Buchstaben z, x^, . . . p^ ausser den zwei 

 Gleichungen (32), (33) ergeben wiirden: 



z=F{Z,X„..X,, P,,..P,), x,^FAZ,X,,..X,, P,,..P,), x, = F,{Z,X,,..X„P,,..P^), 



(35) x, = F,{ ),p^.^ii,^{ )^ 



P2 = n'2{ ), P, = i'Å ); 



woraus folgt, dass jede neiie Gleichung in R^-. 



(36) (t>AZ, X„ X„ X„ X,, P„ P,, P„ PJ-^O 

 zu einer Gleichung in Bi-. 



(37) 'p{z, X,, x^, a-3, /;,, p,, 7)3) = O 



fiilirt imd urngekehrt. Die Integral-ilfi, -Jfo, -M-^ von (37) liefern uns demnach 

 Integral-Mannigfaltigkeiten derselben Dimensionen des von den drei Gleichungen (32), 

 (33), (36) bestimmten ZXP-Gebietes. 



Hiermit ist auch erwiesen, dass drei heliebige partielle Differentialgleichungen 

 1. O. des R^ dreifach unendlich viele M^ und ihre Umhilllungen als Integrale grösstmög- 

 licher Dimensionszahl gerneitisaru hesitzen. 



Eine jede vollständige Lösung von (37) wird hierbei Bild einer aus Integral-il/j 

 bestehenden vollständigen Lösung von (32), (33), (36). Es mag dann auch bemerkt 

 werden, dass diese Integral-lfg auf ebensovielen M^ gelegen sind, die zugleich Integral- 

 Mi von = (32) und derjenigen partiellen Differentialgleichung L O. in i?5 werden, 

 von der nach dem ersten Stiicke dieser N., mit N. 3 verglichen, die Gleichung 7^ = O 

 (37) in i?4 ein Bild abgibt, und die zu f/> = (32) involutorisch ist. 



Wegen der bei der Korrespondenz (35) ausnahmslos statthabenden Koéxistenz 

 der Relationen: 



-) 

 e/2 — 2 Pidxi = O , dZ — ^ PidXi = O 



miissen selbstverstäridlich den oo ^ C karakteristiken von rp =0 ebensoviele charakteristische 

 Ml des Systems der Gleichungen (32), (33), (36) entsprechen. Sie werden gegenseitige 

 Beriihrungsstreifen der eben abgeleiteten Integral-ilfg derselben Gleichungen ausmachen. 



13. Eine nach den oben gegebenen Vorschriften vorgenommene Abbildung der 

 partiellen Differentialgleichung fp = (37) des E^ auf den liaum Rr^{x, y, z) fiihrt ohne 

 weiteres zu einer Abbildung des Gleichung ssystems {32), (33), (36) des B^: 



