24 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



14. Von dem Falle, dass zwei beliebige der vorgelegten partiellen Differential- 

 gleichungen erster Ordniing in i?r, Integral-ilf4 genieinsam besitzen, habe ich bisher 

 abgesehen. Nehmen ivir aher jetzt an, dass die Gleichungen fl> = 0, (/>i = 7nit einander 

 in Involution liegen, so dass fiir ihre sämtlichen Flächenelemente {Z X P) die Pois- 

 soNsche Relation: 



(43) [Ö)Ö*i] = 



erfiillt ist, so wissen wir, dass es dann nicht weniger als oc ^ Mi geben muss, die zu- 

 sammen mit allén Umhiillungen von oo^, oo ^ derselben gemeinsame Integrale der 

 beiden Gleichungen ausmachen. Diese Integral-ilf4 stellen sich entweder dar durch 

 die Gleichungen: 



(44) j{x, y,z, Z, X,, X„ X„ X,)^0, 



(44') ^^ + P,|^ = 0, i=l, 2, 3, 4; 



oder durch die Gleichungen: 



/,(x, y, z, Z, X,, X,, X„ XJ = 0, 



(4o) 



- /.( ) = o, 



(45') |A^ + a|A,p,(|^ + ,^^|^0./^1,2.3.4. 



wobei X einen variablen Parameter bezeichnet; oder durch die Gleichungen mit /, , Aa, l^ 

 als beliebig zu variierenden Parametern: 



ftix, y, z, Z, X,, X,, X3, ZJ-=0, 



(46) /,( ) = 0, 



h( ) = o, 



(46') •■ 2'^Syr- + ^'^^'^^ = 0, i=l, 2, 3, 4. 



Wir sehen nun in (44) oder (45), (46) das Gesetz einer Abbildung des involu- 

 torischen Gleichungspaares: 



(47) © = 0, ö), = 



auf Ä3, wobei jedem Elemente {z x y p q) des B^ eine charakteristische il/, desselben 

 Paares entspricht. Wir erhalten die Punktmannigfaltigkeiten in i?r,, an die die Flächen- 

 elemente dieser M.^ sich anschliessen, im Falle (44) durch Hinzuziehung der zwei 

 Gleichungen: 



(48) |/+4/_o.|/ + ,'^ = 0. 



dx Oz Oy ^ oz 



