2Ö A. V. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



X, y, z zw einem bestimmten Gleichiingssysteme von der Form (50) fiihren, fiir wel- 

 ches jene Gleichungen ein vollständiges Integra] bilden, und dass ferner dieselben 

 Gleichungen /i = 0, /2 = zusammen mit (53) nacli Einfuhrung des angenommenen 

 Wertes von I eine Abbildung des letzteren Systemes (50) auf den Raum R^{x, y, z) 

 von der oben geschilderten Art ergeben. 



Man muss offenbar jetzt I aiich so bestimmen können, dass bei gegebenen /i, /g, 

 eine beliebige Gleichung von der Form: 



fÅx, y, 2, p, q, Z, X,,..X,) = o 



von den Werten (53) fiir p und q identiscli befriedigt wird. 



Bei der erwähnten Ahhildung ivird jedem Punkte (ZX) in JRr, mit den däran Jiaftenden 

 00 ^ Flächenelementen (ZXP) des fraglichen Systerns {50) ein durch die Gleichungen {51) 

 und {53) völlig hestimmter Streifen in B^ entsprechen. Jedes Flächenelement {z x y p q) 

 des Bs ist in einfach une7idlich vielen dieser Streifen enthalten. Während also jedem 

 Elemente {ZXP) von {50) nur ein Element {z x y p q) entspricht, werden dagegen jedem 

 der letzteren Elemente nicht weniger als qo ^ Elemente der ersteren Art entsprechen. Sie 

 bilden nach N. 13 eine charakteristische M^ von {50). 



16. Die Flächenelemente {z! x y p q) eines Raumes B' ^ erf Ullen ein fiinffacli 

 unendliclies Gebiet, das als Raum B^ von fiinf Dimensionen anfgefasst werden känn. 

 Auf diesen Raum wollen wir jetzt das oben Auseinandergesetzte iibertragen, indem 

 wir nehmen: 

 (54) Z = z\ X, = x', X, = y', X, = p', X, = q' 



und von den Flächenelementen in B'^ als von Punkten in B^ sprechen. 



Unter den Mannigfaltigkeiten vereinigt liegender Flächenelemente {ZXP) dieses 

 i?.r, werden hier besonders diejenigen in Betracht gezogen, die zugleich Streifen und 

 Flächen in B^ sind. Fur sie gilt, dass nicht nur: 



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(a) dZ — ^PidXi^^^O, 



i-\ 



sondern auch: 



(b) dz' — p'dx' — q'dy'^0, dp' — r'dx' — s'd7j' ^ O, dq' — s'dx' — t'dy' = 0, 

 r , s , t' unabhängig von dy/dx; öder also: 



p' = P, + r'P, + s'P,, 



(c) 



q'-P, + s'P, + t' P,. 



Es wird hierdurch jedem Elemente {ZXP) des i?5 ein Element (c .r' ?/' ;/</') zuge- 

 ordnet, das mit einem Biischel von Wertsystemen von (?', s , t') versehen ist: 



(d) r' + m's' = u', s' + m'i' = v'. 



