2S: A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Wenn wir diese Gleichungen (58) auf die in N. 14 auseinandergesetzte Weise 

 vermittelst der Formeln (44'), (48) auf den Raum Iis{x, y, z) abbilden, erhalten wir 

 jedes Element {zxy p q) dieses Raumes als Bild einer einfach unendliclien Schar von 

 Streifen in -R'3/ nnd ausserdem zu jedem Elemente {z x y' p q') dieser Streifenschar 

 eine Gerade (m', //, r), die der Kongruenz 'P"i = O angehört. Aus (57) und den dazii 

 gehörenden Gleichungen (48) : 



^ ' ox Oz Oy ^ Oz 



und den Gleichungen (44'), mit Hiilfe von (c) in die Form gebracht: 



(Jx ' dz' Op dq' 



dy' ^ dz dp dq' 



.- • - • dp''^-^'dz'~ ' dq''^ ^*dz'~ ' 



bekommen wir nämlich: 



, df di , i di ,di\ di , I di ,df\ di 



dq' dp" ' \dx ' dzj dp \dy' ^ dz'l dp" 



ferner die Gleichungen (58) und endHch ganz bestimmte Ausdriicke von x, y, z, p, q: 



(59) X = (pi(z', x', y', p', q', m' , y', v'), y = fp. (2', x', y', p\ q\ m\ y' , v'), z = ^ (2', x', y\ p' , q^ , m\ a', v'), 



woraus dann leicht ersichtlich ist, wie umgekehrt jedes Element {z x y' p q) des B'^ 

 eine Fläche (57) in B^ bestimmt, deren co ^ Elemente {z x y p q) ihrerseits jenem 

 ersten Elemente {z x y p q) je eine Gerade (w', y\ r') in der Kongruenz ^Fj^O 

 zuordnen. Und weil jede beliebige Gerade des Komplexes (e) der vorigen N., die 

 7iicht der Kongruenz '/^i=0 angehört, jedenfalls von 00' Geraden dieser Kongruenz 

 getroffen wird, so muss jedes Wertsystem von z, x, y', p, q, m , y, v, das die Glei- 

 chung ''l\ = O 7iic}it befriedigt, zu oo ^ Flächenelementen (-; x y p q) in B^, f iihren, die 

 einen Streifen auf der dem Elemente {z x y p q) entsprechenden Fläche (57) in B^ 

 bilden. Im Anschlusse hieran möchte ich noch bemerken, dass jede Fläche z =F' {x , y) 

 in B'j, ein Integral von H\ == O ausmacht, und dass sie durch ihre 00 ^ Wertsysteme 

 von :*;', y, z =^ F' , p=^dF'/dx', q'==dF'/dy', r' = d^F'ldx\ s =d'F' ldx-dy\ t' = d'F'/dy'\ 

 die ebensoviele Kongruenzlinien (w', y , )>') bestimmen, eine einzige Fläche in B^ liefert, 

 wälirend dagegen eine beliebige Fläche (F) des letzteren Raumes das Bild eines 

 Integrals 



^ Integi'a] streifen des Gleichuiigssystems iu Ä'.,, das aus (57) und nachfolgcnden (57') bestcbt. 



