. KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 29 



(57") yÅz', x', y', p', q') = 



von U^ = O wird, das das Umhiilliingsgebilde der zweifach unendlich vielen Integrale 

 (57) ausmacht, die den verschiedenen Punkten der Fläche (F) in B^ entsprechen. 

 Diejenigen Kongruenzlinien, die nach dem Vorangehenden die Flächenelemente von 

 (F) den verschiedenen Elementen {z x y p q) von (57") zuordnen, gehören mit ihren 

 (/, s, t') den Charakteristiken von (57") an. 



Jede partielle Differentialgleiehung 1. O. des B^^: 



fp{z, •^^ y, V' ?) = 



veranlasst durcli ilire Integralflächen wegen (59) eine Gleichung in R^: 



(60) W^{z\ x', y', v', q', m', a', y')=0, 

 die mit dem Gleichungspaare (58) oo ■ Integrale der Form: 



(61) F{z', x', y\ iJ, q', I, = 



mit I, r^ als arbiträren Konstanten gemein hat. Dass das Umhiillungsgebilde jeder 

 einfachen Unendlichkeit (',=== V^d)) dieser Integrale dann aucli ein Integral derselben 

 drei Gleichungen 



i// = 0, '/^ = 0, 'F, = Oi 



ausmacht, brauche ich kaum zu sägen. 



Die Elimination von m, t.i\ v, aus den Gleichungen (d) der vorangehenden N. 

 und den Gleichungen '/^i = 0, '^2 = fiihrt somit zu einer 'partiellen Differentialgleiehung 

 zweiter Ordnung in B'^: 



0{z', x', y', p', q, r', s', = 0, 



die ein erstes Integral {61) besitzt. 



Im Raume B'\{r, s, t') stellt = eine Linienfläche der Kongruenz {55) dar. 

 Jede Integralfläche dieser Gleichung 2. O. ist imraer in einem ersten Integrale der- 

 selben, also entweder in einer der Gleichungen (61) öder in einem Umhiillungsgebilde 

 einfach unendlich vieler dieser Gleichungen als Integral enthalten. Auf der Inte- 

 gralfläche verlauf en indes zwei Scharen von Charakteristiken von (/> = 0. Die eine 

 besteht aus Kurven, die sozusagen von Erzeugenden (55), (60) der Linienfläche <ö = O 

 umhiillt werden und längs deren die gegebene Integralfläche mit anderen, demselhen 

 ersten Integrale angehörenden schon eine Beriihrung der ersten Ordnung eingeht. Die 

 andere Scliar dagegen besteht aus Beriihrungskurven zwischen der gegebenen Fläche 

 und Integralflächen verschiedener anderer erster Integrale. Hier känn im allgemeinen 

 erst eine Beriihrung der zweiten Ordnung vorkommen. Diese Charakteristiken haben 

 in jRg diejenigen der partiellen Differentialgleiehung 1. O. fp{z, x, y, p, g)=0 zu 



^ in dereii gemeinsamem Berciche ['P"'F i]^, = O , ['/^"^P",]/;,, = O, ['P' i'F -jJih = ^ ■ 



