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A. V. BÄCKLUND, UBEE MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSEORMATIONEN. 



Bildern, die uns in erster Hand die Gleichung (60) nnd damit auch die Gleichung 

 2. O. <l) = geliefert hat, während jene nebenbei Cliarakteristiken der ersten Inte- 

 grale (61) und ihrer Umliiillungen sind. 



Wenn ip{z, x, y, p, q) = eine zweite partielle Differentialgleichung 1. O. in i?3 

 ist, die aber mit fplz, x, y, p, q) = involutoriscli ist, so erkennen wir in jener Glei- 

 chung das Bild einer partiellen Differentialgleichung 2. O. in B' 3, die mit ©(2, x, y', 

 p, q, r, s, t') = O einf ach unendlich viele erste Integrale gemein hat. Sie muss 

 iibrigens, ebensowie es bei ® = O der Fall war, zvveifach unendlich viele erste Inte- 

 grale unter der Schar (57) besitzen, x, y, z hierbei als willkiirliche Parameter be- 

 trachtet. Wenn mit Hiilfe von (d) und (55) die Gleichungen (59) unter der Form 

 geschrieben vverden: 



x = fi (z', x', y', p', q', r', s', t') 



y-iA ) 



(62) z = tA ) 



p = vA ) 



? = '/'2 ( ) 



so erhellt dem Obigen zufolge sogleich, dass dieselben Involutionsbeziehungen zwischen 

 den Gleichungen ji = Ci, fPk = Cu bestehen mässen, die fiir die entsprechenden Funk- 

 tionen Fi, O,, einer LiEschen Beriihrungstransformation: x = Fi{zi, x^, y^, pi, q^), usw., 

 p = fl\{zi, Xi, yi, Pi, qi), usw. gelten. Dass aber z. B. fi = Ci zu /o = ("2 involutorisch 

 ist, bedeutet hier, dass diese zwei Gleichungen 00 ^ erste Integrale gemein haben. 

 Ganz so wie die Gleichung 



F{x, y, z, x\ y', 2') = O 



zu einer Beriihrungstransformation der LiEschen Art zwischen den Räumen B3 und 

 R\ Anlass gibt, fiihrt die Gleichung (57) 



f{z, X, y, z\ x\ y\ p', ?') = O 



zu der hier behandelten Transformation (59) öder (62). Alle Flächen der zwei Bäume 

 werden zwar in Flächen transformiert, aber nur bei der ersterwähnten Transformation, 

 der Beriihrungstransformation, wird die gegenseitige Beziehung dieser Art zwischen 

 den Flächen der Räume eindeutig öder endlichdeutig sein.^ 



In Bd. XI (1876) und Bd. XIII (1877) der Math. Annalen liabe ich eingehend 

 iiber die Transformation (62) der vorstehenden Art gesprochen. Besonders die in § 2 

 der ersten und S. 71 der zweiten Abhandlung mitgeteilten Erwägungen möchte ich 

 als grundlegend fiir die Theorie dieser Transformationen bezeichnen. Auch habe ich 

 S. 221 der ersten Abhandlung darauf aufmerksam gemacht, dass die 00 ^ ersten Inte- 

 grale der obigen Gleichung (I>[z x, ij, p, q, r, s, t') = 0, diese Integrale in der Form 



^ Vgl. mcinc Abhandlung in Bd. IX der ^latli. Annalen. 



