32 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



/i(«, y. 2, z\ x\ y', 'p', q') = Q, 

 (03') 



/2( ) = o, 



die, als partielie DijjerentialgleicJiungen in R\ hetrachtet, unabhängig von den Werten 

 von X, y, z invohitorisch sind, werde ich mich dennoch etwas länger verweilen. 



In diesem Falle tritt jeder Punkt {x, y, z) als Bild von oo ^ Flächen in R\ nnd 

 Jedes durcli den Punkt gelegte Fläclienelement (2 x y p q) als Bild von 00 \ auf je 

 einer der 00 ^ Flächen gelegenen Streifen auf. Es wird ferner jedem Elemente 

 {z x y p q) eine bestimmte Kurve (63') in R^ im Verein mit den sich däran an- 

 schliessenden Biischeln von Elementen {z x y p q) zugeordnet. 



Demzufolge wird jeder Fläche {F') in R'^ eine Brennfläche (F) derjenigen 00 ^ Kurven 

 {60) in i?3 zugeordnet, die den go ^ Flächenelementen {z x' y p q) von [F') entsprechen. 

 Die zwei vereinigt liegenden Elemente {z x y' p q) , {z + p dx + q dy' , x + dx , . . q + 

 + dq) von {F'), deren Kurven (63') sich im Punkte {x, y, z) auf {F) treffen, gehören 

 offenbar auch einer der oc ^ Flächen (63') in R\ an, die dem Punkte {x, y, z) ent- 

 sprechen, und daher gilt von der ganz beliebig angenommenen Fläche {F') in R\, 

 dass sie einerseits zu einer bestimmten Fläche in R^ fiihrt, die die Brennfläche der 

 von {F') bestimmten Kongruenz von Kurven (63') ausmacht, und dass sie andrerseits 

 mit jeder Fläche einer von den Punkten von (F) bestimmten zweifach unendlichen 

 Schar von Flächen (63') eine stationäre Beriihrung hat. 



Es gibt im allgemeinen in R\ oc * solche Flächen wie (63') und in i?3 00 ^ solclie 

 Kurven wie (63'). Eine jede Fläche {F) in R^ gibt zu go ^ jener Flächen (63') des 

 R'2, Anlass, und diejenigen Flächenelemente in R'3, die Beriihrungselemente je zweier unend- 

 licJi henachbarter dieser co ^ Flächen sind, werden oo * an Zalil und erfiillen damit eine 

 partielle Dijjerentialgleicliung 1. O. in R'^. Ihre Integralflächen maclien genau die Flächeri 

 aus, die von je 00 ^ jener 00 ^ Flächen {63') stationär berilhrt werden. Sie werden daher 

 die Flächen {F"), die einer gegebenen Fläche (F) in R^ entsprechen. 



[Die Auffassung der partiellen Differentialgleichung 1. O. als Inbegriff der Be- 

 riihrungselemente je zweier unendlich benachbarter Flächen eines gegebenen dreifach 

 unendlichen Flächenkomplexes ist wohl zum ersten Male bei Sophus Lie in seiner 

 Abhandlung: Uber Coniplexe, insbesondere Li^iien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung 

 auf die Theorie partieller Differentialgleichungen, Math. Ann. Bd. V, zu finden.] 



tJber die partielie Differentialgleichung erster Ordnung in R'^, die, wie gesagt, 

 der Fläche (F) des R3 entspricht, ist noch zu bemerken, dass jede CharalieristiJc der- 

 selben ein Streifen ist, der mit den Flächen einer einfach unendlichen Flächenschar des 

 genannten Flächenkomplexes je zwei konsekutive Flächenelemente gemein hat. Dem cha- 

 rakteristi schen Streifen wird daher eine Kurve auf {F) entsprechen, die von 00 ^ Kurven 

 {63') umhilllt wird. Derartiger Kurven wird es im allgemeinen go ^ geben. Nur wenn 

 die von den Elementen {z x y p q) der Differentialgleichung ausgeschiedene Schar 

 von Kurven (63') bloss dreifach unendlich ist, wenn also jede Kurve der Schar in 

 derselben Weise zu einfach unendlich vielen Elementen {z' x y p q) gehört, wird sich 

 die Zalil der genannten Kurven auf go ^ reduzieren. 



