KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 33 



19. {F') sei eine Integralfläche der partiellen Differentialgleichimg 1. O. in B'^, 

 die in der angefiihrten Weise einer beliebig angenommenen Fläche (F) entspricht. 

 Dia fragliche Differentialgleichimg werde icli kurz mit [G] bezeichnen. (F') fiihrt nun, 

 wie eben gezeigt, zu einer (zvveifach imendlichen) Kongruenz von Knrven (63') und 

 diese hat in allgemeinen eine Brennfläche, die aus (F) und noch einer öder mehreren 

 anderen Flächen besteht. (i^j) sei die andere öder eine dieser anderen Flächen. Es 

 muss dann auch die partielie Differentialgleichung 1. O. in B'3, die sich zu (F-i) ver- 

 balt wie [G] zu (F), dieselbe {F') als Integralfläche haben. Als Integral der neuen 

 partiellen Differentialgleichung betrachtet fiihrt {F') jedoch zu keiner neuen Kongruenz 

 von K ur ven (63') und damit zu keinen anderen Flächen in B^ als die friiheren (Fi) 

 und (F). Ein beliebig angenommener Streifen von Elementen {z x y 'p q) von [(?] 

 bestimmt sowohl eine einzige Integralfläche {F') von [G'\, die den Streifen enthält, 

 wie eine einzige, von oo \ den Elementen des Streifens entsprechenden Kurven (63') 

 erzeugte Fläche in B^, in der, nach dem eben Erörterten, ausser {F) nur die er- 

 wähnten, der {F') entsprechenden anderen {F^) eingeschrieben sind. Wenn nun 

 andrerseits die Parameter z , x, y, p, q der vorliegenden 00 ^ Kurven (63') auch nur 

 X ^ an Zahl sind, so wird von ihnen nur der betrachtete Streifen in B\ gebildet, und 

 dann werden auch nur die betrachteten Flächen {F') und {F^) gewonnen. Wenn 

 dagegen die Parameter z, x! , y, p, q jener einfach unendlichen Kurvenschar (63') 

 00 ^ an Zahl wären, und sich zu 00 ^ Streifen zusammenschlössen, die sämtlich auch 

 der Gleichung [ö] geniigten, so wiirden die oo ^ Integrale {F') von [(?], die durch diese 

 Streifen hindurchgingen, docli dieselbe Kongruenz (63') und dieselben oo ^ am Schlusse 

 der nächstvorangehenden N. erwähnten Kurven auf {F) bestimmen und damit auch 

 zu denselben {F^) fiihren.^ Nur wenn der Streifen in B\, von dem wir ausgegangen 

 sind, eine Charakteristik von {Cf] ist, erleidet unser Satz eine Ausnahme. 



Weil also jedenfalls in eine jede Fläche des B^, die von einer solchen Schar von 

 Kurven (63') erzeugt ist, die den Flächenelementen {z x y p' q) eines nicht-charak- 

 teristischen Streifens von [G] in B'^ entsprechen, ausser {F) noch eine Fläche [F^) 

 und im allgemeinen nur eine solche Fläche eingeschrieben werden känn, so milssen 

 die Flächen, die fiir eine gegebene Fläche (F) die Bolie einer {F^) spielen, sämtlich 

 Integrale ein und derselhen nur von (F) und dem Gleichungspaare {63') dbhängenden 

 partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in B^ werden.* Es darf jedoch hierbei 

 nicht unerwähnt bleiben, dass die Flächen, die von je einer solchen Schar von go ^ 

 Kurven {63') erzeugt sind, deren sich je zivei konselcutive auf {F) schneiden, und die 

 also den Char akteristiken von \G] entsprechen, eine Art hesonderer Integrale der jrag- 

 lichen partiellen Differentialgleichung ausmachen. 



Durch ein Beispiel einfachster Art werde ich demnächst die vorgetragene Theorie 

 erläutern. 



^ Zwei Charakteristiken von [G] auf zwei belicbigen dieser Flächen {F') werden, wenn sie von zwei 

 Elementen {z' x' y' p' q') ausgelien, die ein und dieselbe Kurve ((13') liefern, auch ganz dieselbe einfach unend- 

 liche Schar von Kurven (63') ergeben. Dies folgt mit Notwendigkeit aus der Eigenschaft der Integralflächen 

 von [G\ von Flächen (63') des R\ längs den Charakteristiken stationär beriihrt zu werden. Je zwei kou- 

 sekutive Kurven jener Kurvenschar (63') des R^ werden sicli auf {F) trcffen. 



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