34 A. v. BÄCKLUND, ÖBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



20. Der Inbegriff der Normalen der Flächen in R'3 ist als eine Kurvenschar (63') 

 zu betrachten. Die Normalen werden nämlich durch die Gleichungen mit variierenden 

 X, y, z, dagegen konstanten x,..q'. 



x' — x+ p' {z' — z) --= O , 



(G3") 



y-2/ + 9'(2'-2) = o 



dargestellt. Als Flächen (63") treten dann die Integrale der folgenden Differential- 

 gleichung auf: 



p'dx' + q'dy' — dz' = 0, 

 d. h. 



(x' — x)dx' + iy' — y)dy' + (2' —z)dz' = 0, 



wobei X, y, z als Konstanten betrachtet werden. Die fraglichen Flächen in R\ sind 

 somit die Kugeln dieses Raumes: 



{x^ -xf + {y^ -yr- + {z^ -zf-R' = 0, 



wobei dann x, y, z die Mittelpunktskoordinaten imd R den' Radius bezeichnet. 



Jede Fläche {F') in R'3 bestimmt jetzt zwei Flächen, (F) und (F^), als Be- 

 standteile der Brennfläche ilirer Normalen. Die Fläche (F) wird zugleich der Ort 

 der Mittelpunkte der Hauptkugeln der einen Schar und (F^) der Ort derjenigen der 

 Hauptkugeln der anderen Schar der (F). Und ferner: alle Flächen {F'), fiir die 

 {F) den einen Teil ihrer Evoluten darstellt, werden Integrale einer partiellen Diffe- 

 rentialgleiclmng erster Ordnimg in R'^, und jede Fläche (i^i), die zusammen mit {F) 

 die volle Evolute einer Fläche {F') ausmacht, wird Integral einer anderen partiellen 

 Differentialgleichnng erster Ordnung. Aus den Integralen der ersten Gleichung sind 

 ohne weiteres die der letzteren durch Differentiationen und Eliminationen zu ge- 

 winnen. 



Weil ferner jede Kurve (63"), d. h. jede Gerade, die in R^ als Normale von 

 Flächen in R\ betrachtet wird, zu 00 ^ Elementen {z x y j) q") dieselbe Beziehung hat, 

 so känn die partielle Differentialgleichung 1. O. derjenigen {F'), die einer gegebenen 

 Fläche (F) angehören, nur go ^ Geraden (63") ergeben. Diese werden von nur 00 " 

 Kurven auf {F) umhiillt, und das sind die geodätischen Linien dieser Fläche.* 



Irgend eine einfach unendliche Schar dieser Linien bestimmt durch ihre Tan- 

 genten eine Normalenkongruenz, die gleichzeitig einer {F') und ihren Parallelflächen 

 angehört. 



Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung der {F') werden Kriim- 

 mungskurven der einen Schar dieser Flächen. Die Normalen in den Punkten irgend 

 einer dieser Kriimmungskurven beriihren {F) längs einer der erwähnten geodätischen 

 Linien. 



1 Aus (len zwei vorhergelienrlen Nummern gelit jcdocli die Eigenscliaft jenev Kurvoii, geodätisclie Linien 

 zu sein, niclit so unniittolliar liervor. Vgl. den Sclduss der N. 22. 



