36 A. v. BÄCKLUND, iJBER MEHRDEUTIGE ELÄCHENTRANSEORMATIONEN. 



wird, mit R den entsprechenden Hauptkriimmungsradius in [x, y , z) derselben {F') 

 und endlich mit S das im Punkte {x, y, z) auf der Ebene [T' R), d. i. der Ebene 

 durch T und {x, y, z), errichtete Lot, so sagt uns die erste der angefiilirten Glei- 

 chungen, dass 



und wenn wir ferner die Z-Achse parallel zu A^' und die X-Achse parallel zu T' 

 annehmen und so bemerken, dass hinsichtlich einer Cliarakteristik der partiellen 

 Differentialgleichung fiir {F'), also aucli hinsichtlich der eben erwähnten Krlimmungs- 

 kurve auf {F'), die T' als Tangente besitzt, w', /«', r' die Bedeutung von bez. dy/dx, 

 dp/dx, dqjdx haben, so erkennen wir sofort aus der zweiten bis letzten der obigen 

 Gleichungen unter Einsetzung von: 



cosiVz = 0, y'^^' 3' = O, m'-=0, 

 dass 



u'= -5, v' = m' = 0. 

 si 



Weil 



m' = q/p = cos N t/Jcoii N x = 0, 



so muss sein cos Ny = 0, d. h, 



und daher muss N in die Ebene {T'R) fallen und *S' die Fläche {F) in {x, y, z) 

 beriihren, 



Aber auch R, d. h. N', beriihrt [F] im Punkte {x, y, z), und die Normale 

 von {F') im nächstfolgenden Punke {x + dx , y + dy' , z! + dz!) der betrachteten Kriim- 

 mungskurve durch {x , y , z!) trifft A^ in jenem Punkte {x, y, z) und beriihrt {F) in 

 dem unendlich benachbarten Punkte, der dem {x + dx, y + dy , z + dz) entspricht. 

 Wenn also ein Punkt {x , y, z!) eine Kriimmungskurve der betrachteten Art auf [F') 

 beschreibt, so muss sich die Normale von {F') in {x , y , z!) als Tangente des Örtes 

 des entsprechenden Kriimmungszentrums {x, y, z) auf {F) bewegen, und zugleich 

 muss die Ebene {T R) die oskulierende Ebene dieses Örtes werden. Wir haben jedocli 

 soeben erkannt, dass letztere Ebene aucli durch die Normale N von {F) geht. Dass 

 aber die oskulierende Ebene einer auf einer Fläche gelegenen Kurve im Oskulations- 

 punkte auf der Fläche senkrecht steht, charakterisiert die Kurve vollständig als geo- 

 dätische Kurve der Fläche. Der Ort der Kriimmungszentren der betrachteten Kriim- 

 mungskurve auf {F') wird also eine geodätische Linie auf (F), wie oben in N. 20, 

 jedoch ohne Beweis, behauptet wurde. 



Die Ebene {SR), die auf der Ebene {T R) senkrecht steht, muss folglich die 

 Fläche {F) im Punkte {x, y, z) beriihren. Ist {x", y", z") das zweite Hauptkriim- 

 mungszentrum der Fläche {F') in Bezug auf ihren Punkt {x, y, z!), so wird im Punkte 



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