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A. V. BACKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Man bedarf aber nocli einer Gleicliimg um unter den Integralflächen von £2" = O die- 

 jenige ausscheiden zu können, die einer gegebenen {F') als ilire der gegebenen {F) 

 assoziierte Fläche {F-i) gehört. Und weil (F) nnd {F■^) gegeniiber einer gegebenen 

 Integralfläche {F') von -Q' = O reziprok sind, so können wir aus der letzten der Glei- 

 chungen (67) schliessen, dass auch 



(70) 



1 + p'p" + q' q" 



sein muss, und diese Gleichung fiigen wir dann zu den vorstehenden hinzu. 



In den jilnf Gleichungen {69), {70) erblicken wir deyi Ausdruck einer Transforma- 

 tion der zwei partiellen Dijferentialgleicliungen 1. O. f2' = 0, .Q" = i7i einander, die 

 zwar eine Flächeniransjormation, aber keine endlichdeuiige und daJier auch keine Jacobi- 

 LiEsc/ie Berilhrimgstransjormation ist. 



Bei derselben fiihrt nämlich ein jedes Element {z x y p q) von -Q' = O zu einer 

 darauf senkrecht Geraden mit einem an ilir liaftenden Streifen, der die Leitlinie der 

 von {z X y p q) ausgehenden Charakteristik von .Q' = im Punkte {x, y, z) beriihrt. 

 Dieser Streifen wird von den jenem Elemente entsprechenden {z x" y" p" q) gebildet, 

 und umgekehrt fiihrt ein jedes Element {z" x" y" p" q") von -Q" = zu go ^ {z x y p q), 

 die alle auf der Geraden senkrecht stelien, die in der Ebene jenes Elementes {z" x" 

 y" p" q") als Tangente zu F (66) verläuft, und in deren Beriihrungspunkte mit {F) 

 diese Fläche von der letzterwähntén Ebene senkrecht getroffen wird. 



Eine Charakteristik von i2' = fiihrt, wie schon bemerkt, zu einer Developpablen, 

 die auf demselben charakteristischen Streifen senkrecht stelit und eine geodätische 

 Linie auf ( j^) als Kuspidalkurve besitzt. Eine Integralfläche {F') von -Q' = O fiihrt 

 demnach in erster Linie zu go ^ derartigen Developpablen mit eben so vielen geodä- 

 tischen Linien auf {F) als Kuspidalkurven und sodann zum Umhiillungsgebilde dieser 

 Developpablen als der eigentlich einzigen zu ( J") gehörenden Fläche {F^). Eine jede 

 Integralfläche {F^} von i2" = fiihrt dagegen zu nicht weniger als oo ^ Flächen {F'), 

 nämlich zu einer ganzen Schar von Parallelflächen dieser Art. 



Bei dem eben Vorgetragenen haben wir allés auf eine und dieselbe Fläche {F) 

 (66) bezogen; aber diese war ganz beliebig gewählt. Behandeln wir sämtliche Inte- 

 gralflächen einer beliebigen partiellen Differentialgleichung 1. O. 



o I 



z, X, y, p, <?) = o 



als Flächen {F), so finden wir die ihnen entsprechenden {F') als Integralflächen einer 

 partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnuyig, die erste Integrale in grösstynöglicher 

 Zalil besitzt. Aus dem Formelsysteme der N. 21 leiten wir diese Gleichung fiir 



/: 



X + 2)'{z' — z), f2 = y' — y + q'{z' — z) 



wie folgt ab. Die Formeln (64) ergeben, wie in N. 22 bemerkt: 



l = qip, 1 + P2)' + g-^^^o, 

 und mit demselben ^- bekommen wir aus den zwei ersten von (65'); 



