40 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



oder einfacher und doch ebenso unzweideutig durch die vier Gleichungen: 



/,(.r, y, z, z', x\ y\ yV, 9') = 0, 



^^^'^ iÅ'-, X, y, ?J, q, z', x\ v\ v', q') = 0, 



(lU_di^_ df^ dh _ Q 

 dx dy dy dx 



ausgedriickt. Jetzt sind /i, /o, /s ganz beliebig genommene Funktionsformen. 

 Der Abkiirzung halber ist hier djjdx, djildy fiir 



Ox ' ()z dy ^ dz 



gesclirieben worden. Im allgemeinen werde ich, wenn F irgend eine Funktion von 

 X, y, z, p, q, r, s, t, . . . x, y', z, p, q, r , s, t' , . . bedeutet, unter dFldx, dFldy, 

 dFjdx, dF/dy die vollständigen ersten Derivierten von F in Bezug auf x, y, x, y 

 verstehen und hierbei z als Funktion von x und y, z als Funktion von x und y' 

 betrachten; ich setze also df.;ldx', djildy fiir bez. 



dx' ^ dz' ^ dp'^ dq" 



^+^''^ + .'^ + ^''^,. = 1,2, 3. 

 dy' ^ dz dp dq' 



Bei vorliegender Transformation werden im allgemeinen die FLäclien in ihre 

 kleinsten Teile zerrissen ; nur fiir eine beschränktere Zahl deren gilt es, dass der Zu- 

 sammenhang ihrer Teile gewahrt bleibt, so dass sie niclit aufliören Flächen zu sein. 

 Diejenigen Flächen in B'^, fiir die in diesem Sinne die Transformation eine Flächen- 

 transformation wird, sind aus den vorhergehenden Gleichungen und den Gleichungen 

 (65) oder den beiden folgenden von (65'): 



(72) ■ §/.+4Vo, f'' + ;.§'-^-o, 



dx dx dy dy 



d. h. nach (64): 



(72') ^'Ua^^^l^o <^/t df^ df^df, _Q 



dx' dx dx' dx ' dy' dx dy' dx 



einfach abzuleiten. Die partielle Differeniialgleichung zweiter Ordnung, die durch 

 Elimination von ;r, y, z, p, q aus den Gleichungen {71'), {72') hervorgeht: 



(73) F{z', x', y', v', q', r', s', /') = O 



]iai die gesuchten Flächen zu Integralen. 



