KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 41 



Diese partieile Differentialgleichung 2. O. ordnet jedem Elemente {z x' y' p' q) 

 cc ^ Wertsysteme von r', s', t' zu. Als Koordinaten der Punkte eines B"3 stellen diese 

 r', s', t' eine Linienfläche des Komplexes (e) der N. 16 dar, weshalb in den fruher 

 angewandten Linienkoordinaten m, <«', v' dieselbe Differentialgleichung aucli durch 

 ein Gleichungspaar: 



A{z\ x', y', p', q', ml, a', v') = 0, 

 (73') 



B{ ) = 



auszudriicken wäre. So er kemien wir, dass einem jeden Elemente {z x y j/ q) oo ^ 

 Geraden [rn u v) zugeordnet sind, und dass jede derselben vermittelst (71), (72') zu 

 einem bestimmten Elemente {z x y p q) fiihrt. Diese c» ^ Geraden werden somit offen- 

 bar die op ' Elemente {z x y p q) ergeben, ans denen der dem Elemente (z x y p q) ent- 

 sprechende Streifen in B^: 



ax ax dy dy 



(A wie oben in (71) durcli /3=0 bestimmt), gebildet ist. 



Nach den Erklärungen des vorangelienden § muss ein jedes Element {z x' y p 

 q r s t') der Gleichung (73) nebst go ^ mit ihm und mit einander vereinigt liegenden 

 Elementen {z + dz, . . .t' + dt') derselben Gleichung zu einem bestimmten Elemente 

 {z X y p q) nebst oo ' mit diesem und mit einander vereinigt liegenden Elementen 

 {z + dz, . . . q + dq) fiihren; es muss also jede hitegraljläche der partiellen Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung F = eine Fläche in R^ ergeben. Wenn wir dann noch 

 bedenken, dass einem beliebigen Elemente {z x y p q) oo ' Elemente {z x y p q) ent- 

 sprechen, und dass diese im allgemeinen keinen Streifen bilden, dass aber jedes mit 

 einer bestimmten Geraden {m u v') (72') der Linienfläche (73') versehen ist, so ver- 

 stehen wir, dass ein beliebiger Streifen in F^ zu oo ^ {z x y p q) fiihren muss, die sich 

 zu nicht weniger als oo ' Streifen zusammenschliessen. Diese Streifen sind allgemeiner 

 Art. Ziehen wir nämlich zunächst im Raume R'^ einen beliebigen Streifen, so finden 

 wir zu jedem seiner Elemente ein Wertsystem {r, s, t'), das sowohl den Gleichungen 

 des Streifens: 



djJ = r'dx' + s'dy' , de/ = s'dx' + t'dy' 



als auch der Gleichung F = (73) geniigt. Und jedem solchen Elemente {z!x' ..st!) 

 entspricht eine einzige Gerade (m' // v) und, wie schon bemerkt wurde, ein einziges 

 Element {z x y p q); und weiter, zwei beliebigen solchen vereinigt liegenden Elementen 

 {z . . . t'), {z + dz . . . t' + dt') von F =0 entsprechen zwei ebenfalls vereinigt liegende 

 Elemente {z..q), {z + dz..q + dq) in R^. Daher 7nuss der in R'^ beliebig gezogene 

 Streifen zu einem bestimmten Streifen in R^ fiihren; es werden also auch die einander 

 entsprechenden Streifen beider Räume, i?3 und R'^, allgemeiner Art sein. 



Wir ziehen jetzt in R^ einen Streifen und nennen ihn S. Ihm entsprechen, 

 wie schon gesagt, oo ^ Streifen in jR'3; ich bezeichne sie mit S' . Zu jedem Elemente 



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