42 A. v. BÄCKLUND, IJBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



{z X y "p q) irgend eines dieser *S" wird in der oben erklärten Weise die partielle Diffe- 

 rentialgleichung F = ein Wertsystem von [r, s, t') liefern, aber sieliefert auch in ähn- 

 licher Weise ein Wertsystem der dritten Differentialquotienten von s' [t], 6'|, i'^, £'|), 

 eins der vierten Differentialquotienten {e\, t'*, e'*, *'*, «'*), usw. {t''{=-d^'zlOx^', ii\ = 

 = d''z'/dx'^'-'dij', e'l = d''z/dx''-^dy'\ . . . e^l = dh'/dx' dy''^-\ 4^, = dh'/dy"'). Betreffs f'? ge- 

 schiet dies mittelst folgender Gleich ungen des Streifens: 



dr' = t^ldx' + e'ldij' , ds' = e'ldx' + e'ldij', dt' = £'ldx' + e'ldy' 



nnd einer der Gleichungen: 



dx' ' dy' "' 



deren jetzt eine aus der anderen folgt, da nach Einsetzung der fraglichen Werte von 



z, x',...t', z + dz, . . t' + dt' nicht nur F{z', x,..t') sondern auch F{z' + dz', x + 

 + dx, . . t' + dt') verschwindet. Und aus den nachstehenden Gleichungen desselben 

 Streifens : 



dt"" =!-'^dx' + t'',d^j', z=l, 2, 3, 4, 

 und einer der drei Gleiclumgen: 



dx'-'^ ' dx'dy' ~ ' fZy-~ ' 



die jetzt mit den obigen Werten von z , x , . . . e'^ ein und dieselbe neue Gleichung 

 fiir die gesuchten i'| abgeben, finden wir die letzteren, usw. Aber die so zu berech- 

 nenden, einem beliebigen Elemente {z x y 2>' q) eines Streifens 8' angehörenden Werte 

 der zweiten, dritten, vierten usw. Differentialquotienten von z geben uns eine einzige 

 Fläche und zwar diejenige Integralfläche von i^ = 0, die durch nnseren ä' gelit. Also 

 wird durch je einen der cc^ S', die dem Streifen S des jRg entsprechen, eine Integral- 

 fläche von F = hindurchgehen, und nach dem oben Erörterten mlissen ihnen eben- 

 soviele, also oo ^ Flächen in B3 entsprechen, die alle durch S gehen, Dies sind nun 

 die einzigen Flächen des JR^, die durch S hindurchgehen und bei der Trmisjormatioyi 

 {7 T) ihren Zusammenhang als Flächen beivahren. Weil aber also durch den beliebig 

 angenommenen Streifen in B^ <x> ^ Flächen dieser Art hindurchgehen, und zwar nicht 

 mehr und nicht weniger, so können die fraglichen Flächen des B^, die bei der Trans- 

 formation (71) Flächen bleiben, nicht Integrale ein und derselben partiellen Diffe- 

 rentialgleichung zw^eiter Ordnung werden, wie es mit den ihnen entsprechenden Flächen 

 des R'^ der Fall ist, sondern sie werden Integrale eines Paares soldier partieller Diffe- 

 rentialgleichungen dritter Ordnung, deren erste Derivierten in Bezug auf x, y sich auf 

 nur drei von einander unabhängige Gleichungen reduzieren. In N. 31 werde ich diese 

 Gleichungen aufstellen; später, in N. 38, werde ich auch zeigen, dass aus dem eben 

 Vorgetragenen zwei partielle Differentialgleichungen der angegebenen Art mit Not- 

 wendigkeit als Definitionsgleichungen der fraglichen Flächen des /?3 erfolgen. 



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