44: A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Besonders wenn die Gleichungen (74) nach z, y, j), q aufgelöst vorliegen, also 

 die Form haben: 



z=^f,{x, z\ x\ y\ ?y, q^), 



y-hi ), 



q = tÅ ), 



Jautet die Bedingungsgleichung (75) einfach: 



^^^' ^' öx ''Ox' 



was aucli aus dem Gleichiingssysteme (71') zu erschliessen ist. Die Transformation 

 (74), (75), die mit der Transformation (71) identiscli ist, werde ich demgemäss im 

 Folgenden durcli die Gleichungen (76), (77) formulieren. 



Wir können jenen Transformationsgleichungen auch die Form (71) erteilen und 

 sie dann folgendermassen schreiben: 



(76') z-/i = 0, y-f, = 0, J-i-P+^'!)^ = ^' 2 + ^- = 0, 2-/, = 0. 



In die dazii gehörigen Gleichungen (72) wäre dann 1 = — Q = ~ fi einzusetsen, mithin 



^^^^ dx^~'''dx'-^' dy'~f'dy'~^' 



woraus sich ergibt, dass: 



(79) x=nz', x', y\ p', (i, r\s\ t'), 



(80) Fiz', x', y\ f', q', r\ s\ t') = 0, 



wobei die letztere Gleichung die Gleichung (73) vertritt. 



26. S. 15, 16 seiner oben zitierten Abhandlung macht Clairin darauf auf- 

 merksam, dass sich jede partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer 

 Schar von Kontaktscharakteristiken 1. O. zu unendlich vielen Transformationen der 

 Art (74), (75) genau so verhält wie die Gleichung (80) zur Transformation (76), (77). 

 Hiervon känn man sich folgenderweise iiberzeugen. Jede fartieUe Dijjerentialgleichung 

 zweiter Ordnung mit einer Schar von KontaktscharaJcteristiken 1. O. lässt sich durch 

 zwei Gleichungen {73'): 



A{z\ x\ y\ p', q', m', u', >/) = 0, 

 (73') 



B{ , ) = 



