KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDUNGAR. BAND 50. N:0 4. . 47 



gebracht, so können wir sie, wenn Pj nicht von selbst weggefallen ist, auch folgender- 

 weise darstellen: 



f,ix, y, z, Z, X,,..ZJ = 0, 



/=( ) = 0, 



P,-^p{ ) = 0, 



v-H>{ ) = o, 



Unter dieser Form stimmen unsere Abbildungsgleichungen mit den friiheren Glei- 

 chungen (71) öder noch besser mit den Gleichungen (51), (53), nachdem mittelst (52) 

 % durch Pi ersetzt worden ist, of f enbär völlig iiberein. 



Was andrerseits den wechselseitigen Zusammenhang der ein und derselben 

 Gleichung (73) angehörenden Transformationen der betrachteten Art betrifft, so ist 

 zunächst hieriiber folgendes zu sägen. Die Gleichung (73), in die Form (73") der N. 

 26 gebracht, bilden wir so, wie des näheren in N. 12 vorgeschrieben ist, auf einen 

 Raum Ri{z, x-^, 2*2, x^) ab. Jede partielie Differentialgleichung' 1. O. dieses Raumes 

 wird dem von den zwei Gleichungen (73") und einer dritten Gleichung ®(Z, X^, . . 

 Xi, Pi, . . Pi) =0 ausgeschiedenen Gebiete von Flächenelementen {Z X P) äquivalent 

 und bestimmt daher durch ihre verschiedenen allgemeinen Lösungen mit je drei will- 

 kiirlichen Konstanten x, y, z eine ganze Gruppe von Transformationen (71) der frag- 

 lichen Art. Diejenigen Beruhrungstransjormationen des P4, durch ivelche zwei par- 

 tielle Differentialgleichungen 1. O. dieses Raumes in einander ubergefiihrt iverden hez. 

 diejenigen, bei denen eine einzelne solcJie Gleichuing unverändert bleibt, ergeben damit 

 alle endlichdeutige Operationen, welche zwei verschiedene Gruppen von Transformationen 

 {7T), die zu ein und derselben Gleichung (73) des Pj gehören, bez. die verschiedenen 

 Transformationen ein und derselben dieser Gruppen in einander iiberfilhren. — 



29. Ich werde jetzt zeigen, wie bei den vorliegenden Transformationen (71) 

 öder (74), (75) die höheren Differentialquotienten von z und z mit einander ver- 

 bunden sind. 



Ich lege meinen Betrachtungen die Gleichungen (76), (77) der Transformation 

 zu Grunde und entnehme zunächst aus einer der Gleichungen (78) den Wert (79) 

 von x: 



(81) a,' = /(3', x', y', p', q', r', s', t'). 

 Es folgt dann aus (76), dass: 



z = (fl (2', x', y', p', q\ r', s', t') , 



(82) ^ ■ y = (r2{ ), 



P = fpA ), 



q = fp4( ), 



vvoran sich die folgenden Uberlegungen immittelbar anschliessen. 



