50 A. v. BACKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



woraus sogleich leicht ersichtlicli ist, dass und wle die Werte von 



z, X, y, ersten bis Jeten Differentialquotienten von z 



von 



z , X , y , ersten bis k + l:sten Dijjereniialqiiotienten von z 



ahhängen. 



Was sich inbesondere fiir h=\ ergibt, näralich 



/3((//.))' =((/,/.))', /.((Z/^))' = ((//.))'. 



ist schon in den Gleichungen (77), (78) enthalten. Hieraus dann der angefiihrte Satz 

 fiir lc=\. Aus (91) erschliessen wir nachher seinen Ausdruck fiir Ä- = 2, sodann fiir 

 h = Z, nsw. 



30. Jene Formeln zeigen aber ausserdem, dass es Biischel von Jeten Differential- 

 quotienten von z gibt, die nur von den ersten bis Jc.ien Differentialquotienteri von z ab- 

 Jiängen. Wir haben nämlich in den Bezeichiingen der vorigen N. : 



(iffi))'=iffi)', {ifif,)y-{fihy + '^{fu + j^ifif)\ ^-=1, 3, 4, 



und also nacli (85), (87): 



r{ff.r-{fJ-A'+'^^{ff.)' + yf{fJ)', 



si ) ^ (.W + ^ (//=)' + |^(/J)'. 



Die dritten Differentialquotienten von z kommen hier nur in (Z^)', (Z/a)'? iff*)' ^ot; 

 wir eliminieren sie deshalb leicht durcli Heranziehung der Identität: 



(92) (zz.)'(Z3ZJ' + (ZZ3)'(ZJ.)' + iff.nfjsr-o 



und erhalten dann die von e'l, 6'|, e'l, s'1 freie Gleichung: 



(93a) {fj,yr + {fjjs = '^ {f,f,)' + '^.(ZJ.)' + J^iUs)' ^ 



Aus (85), (87) folgt auch: 



s{ffA'-uf,y, t{ff,y=^iff,y 



und daraus zufolge (92) eine zweite von e'j,.,f'| freie Gleichung: 



(93 b) {fjys + {fj,yt^(jj,y. 



Wenn wir uns nur bei dem Umstande verweilen, dass nach (93), wenn der Kiirze 

 halber m statt 



(fj.y-.ifjy 



