52 • A. v. BÄCKLUND, UBEK MKHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



dz^^^^^^dx + '^dv ^^l^-^'1i + p'l^-i + /li+ s'^ + ^lF^dx[_dI\ <JF,dx^ 

 dx dy ^' dx \ dx j dx ^ äz äp Öq Ox' dx dx dx' dx 



d^ _ idFA ^dF, dj\ dx' 

 dy~\dy]~ dy dx' dy ' 



dFA , , idFA , idFA dF., , OF.dx' IdFA dF, OF.dx' 



^^-5t)-Mt)^Ml&)= 



+ -r-f-:y-, -f~ =^~ + 



j 



dx dx' dx' \dyl dy dx' dy' 

 usw.. 



dFidFu dFidFk . ,00. 

 i = 1, 2, 3, 4. 



dF, 

 dx 



dx dx 



dFAdx' 



dx' j dx' 



dF, 

 dy 



j,dF, 1 

 ~^'~dy-\ 



dF, dF, 

 ^' + ^-^ dx' dx' 



\dx'^ 

 dy 



Daher aus (95 a) und der ersten der Gleichungen (95 b) : 

 öder 



(96') 



Wenn 



identisch null ist, erliält unsere Transformation den gleichen speziellen Cliarakter fiir 

 beide Räume B^ und E\, so dass jedem Flächenelemente des einen Raumes ein 

 Streifen des anderen entspricht, und die Integralflächen zweier bestimmter partieller 

 Differentialgleichungen zweiter Ordnung, nämlich einmal der aus den Gleichungen 

 (78) durch Elimination von x entsprungenen Gleichung (80) F{z, x, y, p, q, r, 

 s, t') = O und zum anderen der aus den zwei zu (78) ähnlichen Gleichungen : 



dx * dx 'dy ^ dy 



durch Elimination von x' hervorgehenden, einander eindeutig entsprechen. 

 Andernfalls haben wir zu (96) die Integrabilitetsbedingung: 



(96") {x'F,) = {{F,F,)) 



hinzuzuf ligen. Ausfiihrlicher geschrieben lautet sie: 



d,x[ rdJ\ _ (TF, dJ\ dF,dF,l 

 dx L dy dx' dy dx' dy J 



I 



(97) 



dx'VdF, dF.dF, OF, dF,l _ dF, dF, dF, dF^ 



dy L dx dx' dx dx' dx J dx dy dy dx 



i 



