54 A. v. BACKLUND, UBEll MEHRDEUTIGE FLÄCllENTKANSFORMATIONEN. 



32, Die Umkehrung der Gleicliimgen (76), die der Bedingung (77) imterliegen, 

 muss also in dem Falle, dass J, 



OF., OF, 



niclit verschwindet, x, y , z, i) , q als Funktionen von x, y, z, p, q, r, s, t ergeben. 

 Dasselbe gilt jetzt aiicli fiir die hiermit zusammengehörenden Werte von r', s', i'. 

 VVir finden nämlich fiir die zweiten, dritten usw. Differentialqiiotienten von z Aus- 

 driicke, die sich den friiheren der N. 29 fiir r, s, t usw. analog stellen, nämlich: 



r'{{fF,)) = {{F,F,)), s'iU'F,)) = {{f'F,)), t'{U' F,)) ^-= {(f F,)), usw.; 



wir haben aber jetzt wegen (99) : 



J{rF,)^{F,F,) 



J{fF,) = {F,F,)-F,{F.,F,), 



J{f'F,) = {F,F,)-F,{F,F,), iWFi)) ^ {fFi), 



und bekommen somit: 



r\F,F,) = ^-^{F,F,) + ^^{F,F,) + 'j^(F,F.,)~F,[FJ\), 



(^^^^ s'{ ) = {F,F,)-FAF,F,), 



t'{ )^{F,F,)-F,{F,F,), 



folglich r', s, i' durch x, y, z, 'p, q, r, s, t völlig bestimmt. 

 Die Formeln: 



e':iF^F.^^yir'F^),-(F.,-y)ir'F.^) 



(102) «"( )-^{F,r')-F,{F,r'), 



^'li )^{F,s')-FAF.,s'), 

 t'l{ )=={F,t')-F,{F,t'), usw. 1 



zeigen, dass die y^-:ten Differentialquotienten von z, wenn A; > 1 , also auch wenn k>2, 

 allgemein nicht von höheren als den Ä;:ten Differentialquotienten von z abhängen. 



Wir haben damit fiir die Transformation (76), (77) zwei Darstellungen gewonnen, 

 die eine formuliert durch Gleichungen der Form: 



, , ,. ^ , . dr' dr' dr' Or' Or' ,0r' , ,0r' , ,0r' , , ., 



1 111 dieseii Formeln ist -,- = ^^ + 7)-:- + r ^r- + s^- + e,-^ + £, -^ + ^l^^, usw., r, s,t 



ax dx dz dp da ' dr ' ds dt 



. dFi 



durch ilirc zuvor gcfundenen Ausdriicke iu z, a;, y, p, q, r, s, t crsctzt gcdaclit. Aber tortAvälireud -^ — — 



dFi^ OFi^ dFi_^ dFi 

 = -— - + p-T.~ + r r — + 5^—, usw. 

 dx dz Op dq 



