50 A. V. BACKLUND, tJBBR MEHRDETJTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



33. Wenn dagegen {77) erfullt ist, möge vor allem die Bedeutimg der Glei- 

 ehungen (78) und (93) beachtet werden. Nach (78) fiihrt jedes Element {z x y 'p q 

 m II v) der Gleichung (80), änders durch die zwei Gleichungen (73') der N. 26 aus- 

 gedriickt, zu einem einzigen Flächenelemente {zxypq) des B^ im Verein mit einfach 

 unendlich vielen Komplexgeraden (m, n, v)^ von der Form (93 a, b) die den ver- 

 scliiedenen Punkten (r, s, t') der angenommenen Geraden (m', .»', v') entsprechen. 

 Diese oo ^ (w, /t, v) erzeugen ein Hyperboloid mit einer Mantelfläche, die im iibri- 

 gen durcli die Gleichung (100) dargestellt ist und noch eine zweite Schar von Er- 

 zeugenden (Wj, Hj, r^) besitzt. Fiir sie gilt folgende Gleichung: 



mit der Nebenbedingung, dass sie fiir alle Punkte der Geraden {m, fi, v'), d. h. fiir 

 alle r', s, i', die den Gleichungen: 



r' + m's' = II', s' + m'i'= v' 



geniigen, erfiillt sein soll.^ Hieraus ergeben sich fiir die fraglichen Wj, «<i, v^ zwei 

 Gleichungen der Form: 



A, B Funktionen von z, x, y, 'p, q, x. 



Die Parameter m, n, v der ersterwähnten Schar von Erzengenden des Hyper- 

 boloids liängen nur von z, x', y', p, q, r', s', t' ab, während fiir die Bestimmung der 

 Parameter W], ,h,, r^ der zweiten Schar von Erzeugenden noch die Kenntnis von e'l, el, 

 t'3, t'l erfordert wird. Hierdurch werden wir in den Stånd gesetzt, einen wichtigen 

 Schluss betreffs der Charakteristiken von (80) zu ziehen. 



Zunächst habe icli folgende Bemerkung vorauszuschicken. Eine jede Charak- 

 teristik von (80) ist ein Streifen, der unendlichfach unendlich vielen Integralflächen 

 derselben Gleichung gemeinsam ist. Im allgemeinen gibt es zwei verschiedene Scharen 

 derartiger Streifen. Die durch einen Streifen der einen Schar zu ziehenden Integral- 

 flächen von (80) oskulieren sich nach demselben Streifen; zu ihnen gehören nämlich 

 längs des Streifens dieselben Werte von r', s', i', aber verschiedene Werte von f'^, . . si 

 und den höheren Differential quotienten von z. Wir nennen sie O skulationschar akteri- 

 stiken, und unsere Transformation fiihrt eine jede solche Charakteristik (*§') in einen 

 Streifen {S) iiber, der den Gleichungen: 



^ r + ms = f.1, s + mt = r; r, 5, t als Koordinaten der Punkte cines E".^ gedeutet. Vgl. N. 16. Dass 

 Beiwort »Komplex») bezielit sich immer auf den Linienkomi)lex (e) der erwähnten N. 16. 



- Die angctulnte Gleichung folgt, natiirlich aus der IJedingung des Schneidens zweier Komplexgeraden 

 (?/?,, II, 1'), (m,, //j, i\), die lautct: 



fl — ^l^ — mi'i+miV = 0, 



naclidein die ans don Foimcln (03 a, h) hervorgehenden Werte von m, 11, v eingetragen worden sind. 



