58 A. V. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



bestimmt. Die erste Gerade geht durch den von A bestimmten Punkt {r, s, t), die 

 zweite durch den Punkt (r, s, i). Es miissen ferner diese Werte von r, .s, t, r, s, 1 

 die Gleichungen des Streifens ^ befriedigen: 



rdx + sdy = dp, sdx + tdy = dq, 



also miissen diese Gleichungen eine Komplexgerade darstellen, die (a) und (b) trifft. 

 Sie wird also eine der im Anfange dieser N. bestimmten Geraden (wi, .»,, v^) sein. 

 Der Streifen 2 muss also die Gleichungen: 



(c) dy = midx, dp — ii^dx, dq^Vidx 



befriedigen, 2 ist eine Charakteristik des Gleichungspaares in F^, weil durch sie 

 alle diejenigen oo *" Integralflächen hindurchgehen, die den durch 2' gehenden Integral- 

 flächen von (80) entsprechen. 



Wenn nun C eine dritte Integralfläche von (80) bedeutet, die durch 2' geht 

 und dort mit A' die Werte von r, s, t' gemein hat, so wird die ihr entsprechende 

 Fläche C durch 2 gehen und dort die Fläche A oskulieren/ Aus den Gleichungen 

 (93 d) und den ähnlichen, die die höheren Differentialquotienten von z betreffen, er- 

 sehen wir in derselben Weise, dass gmiz allgemein den Integralflächen von {80), die 

 längs einer Koyitaktscliarahteristik 1. O. eine Berilhrung k. O., {k = l, 2, . . .), mit 

 einander eingehen, Integralflächen des QleicMmgspaares in R^ entsprecheii, die gleichfalls 

 längs einer Kontahtscharakteristik 1, O. eine Berilhrung derselben k:ten Ordnung besitzen. 

 (Satz von Clairin.) 



Dabei wurde jedoch vorausgesetzt, dass zwar die Bedingung (77), aber nicht 

 die Bedingung 



(106) J~F, + F/'rf-}-ifi = 



^ ' ^ ()x ()x 



erfijllt ist. 



34, Die Bedingung (106) känn auch durch eine auf B'^ statt B^ bezogene Re- 

 lation (75) formuliert werden, und wir stellen sie dann mit Hiilfe von (78) in der 

 Form dar: 



^ A' und C" haben nämlich jctzt zwei vereinigt liegende Cliarakteristiken 2' gemein, und dementsprechend 

 bekommen aucb A und X) zwei vereinigt liegende Cbarakteristiken 2 gemein. 



- Wir finden diese Bedingung jedocli ani einfachsten unter der Form, die ilir Claikin S. 19 — 20 seiner 

 oben zitierten Abliandlung: Sur Ics transformations, gegeben liat, nämlicli: 



Ox' ^ ^ Hz' ' dy' ^ dz' ' Op" dq' 



O, 



I 



eine Form, die durch Elimination von dx' , dy', dp' , d(j^ , (dz' = p'dx' + qdy') sogleicli ans den Gleichungen: 

 c?/, = 0, 6^/2 = 0, ri/3 = O, dft = 0, x liierbei konstant gehalten, liervorgelit. 



