60 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Aus dem ersten kursivierten Satze der vorigen N. können wir daiin fenier 

 schliessen, dass die Transformation [76) jetzt, — da sie in den vorliegenden Fallen 

 (77) und (106) eine eindeutige Korrespondenz zwischen den Integralfläclien zweier 

 partieller Differentialgleichimgen 2. O., nämlich der Gleicliung (80) und der aus (108) 

 durch ElimJnation von x erhaltenen, ergibt, — Oshulationscliarakteristiken der einen 

 Gleicliung in Kontaklscharahteristiken erster Ordnung der anderen iiberfuhrt. (Satz von 

 Cläirin.) 



Die Transformation känn auch als eindeutige Transformation der Geraden 

 {nt, n' , v) und {yn, fi, v), d. h. (78) und (108), aufgefasst werden. Bei ihr hat jedoch 

 nach dem Vorangebenden der Umstand, dass zwei derartige Geraden zufälligerweise 

 vereinigt liegen, worunter ich die Eigenscliaft derselben verstehe, dass sie konsekutive 

 Elemente ein und desselben Streifens sind, gewiss keinen invarianten Cliarakter. 



Wenn die Gleicliung (80) eine MoNGE-ÄMPÉREsche ist: 



A{z', x', y\ v\ g')r' + B{z\ x\ y', ?/, q')s' + C{z', x\ y' , v', q') t' + 



+ D{z', x\ y', p', q'){r't'-6'')+E{z', x', y\ p', q') = 0. 



wenn also ihre beiden Charakteristikenscharen aus Kontaktscharakteristiken 1, O. 

 bestehen, so känn die Transformation (76), als Transformation charakteristischer 

 Streifen betraclitet, im Falle (106) nur in Bezug auf die eine Charakteristikenschar 

 eindeutig sein, indem sie nämlich jede Charakteristik der anderen Schar in oo ' Cha- 

 rakteristiken der entsprechenden Gleicliung 2. O. in i?3 verwandelt. Was notwendig 

 mit sicli fiilirt, dass diejenigen oo ^ Streifen in B^, die den oo.^ Flächenelementen {z x 

 y p' q) ei7ier der fraglichen Charakteristiken in R's enfsprechen, Streifen ein und der- 

 selben Fläche in R^ werden. 



35. S. 39 seiner Abhandlung: Sur les transformations etc, hat Clairin be- 

 wiesen, dass zwei partielie Differentialgleichimgen zweiter Ordnung, die möglicher- 

 weise aus ein und derselben Gleicliung (80) vermittelst zweier auf dieselben Charak- 

 teristiken {m, fl, v) bezogener Transformationen (76), (77), (106) herzuleiten wären, 

 durch eine gewöhnliche LiEsche Beriihrungstransformation mit einander verkniipft 

 sein niiissen. Dies gelit fast unmittelbar aus einem von mir S. 400 — 402 in Bd. XIX 

 der Math. Ann. im Jahre 1881 entvvickelten Satze hervor, nach dem die LiEschen 

 Beriihrungstransformationen die einzigen endlichdeutigen Flächentransformationen von 

 Integralen zweier partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind, deren Um- 

 kehrungen auch endlichdeutig werden, und bei denen Beriihrung der zweiten Ord- 

 nung erhalten bleibt. Denn die sich nach Oskulationscharakteristiken oskulierenden 

 Integralfläclien der beiden partiellen Differentialgleichungen 2. O. des B^ wiirden 

 durch die zwei Transformationen (76) eindeutig auf einander bezogen werden. 



Von dem zitierten Satze in Math. Ann. Bd. XIX kommt man offenbar auch 

 auf kiirzestem Wege zu dem in der vorigen N. angefiihrten Satze von Clairin. 



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