KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 61 



36. Unter den in N. 33 erörterten Geraden (/)?i, /<i, rj, die, wenn die Be- 

 dingung (106) niclit erfiillt ist, die Charakteristiken (c) der einen Scliar des der Glei- 

 chung (80) entsprechenden Gleichungspaares 3. O. des R^ als Umhiillungsgebilde be- 

 sitzen, findet sicli nach (105) aucli die Gerade: 



Der von ihr bestimmte Streifen: 



(109') dy = '^dx, dp = il^dx, dq = ^-^dx 



ist eben der dem Flächenelemente {z x y p q) entsprechende ; er wird, obgleich er ein 

 Umhiillungsgebilde einfach unendlicli vieler (w?i, Hj, )\) (109) ist, keine Charakteristik 

 jenes Gleichungspaares 3. O., sondern nimmt dabei eine ganz singuläre Stellung ein. 

 Auch wenn dagegen die Bedingung (106) erfiillt ist, wobei an die Stelle der zwei 

 partiellen Differentialgleichungen 3. O. eine partielie Differentialgleichung 2. O. tritt, 

 wird es im allgemeinen nicht möglich sein, eine Integralfläche dieser partiellen Diffe- 

 rentialgleichung durch den Streifen (109') zu legen, woraus auch in diesem Falle 

 hervorgeht, dass die Richtung des Streifens mit einer Charakteristiken-Richtung der 

 Gleichung iibereinstimmt. Denn nur Streifen solcher Richtungen sind es, die nicht 

 zu Integralflächen der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung als ordinäre 

 Streifen gehören können. 



37. Als Beispiel einer Transformation der in den letzten Nummern geschilderten 

 Art möchte eine schon 1891 in der Abhandlung: Amvendung von Sätzen iiber par- 

 tielle Difjerentialgleichungen usw. in Bd. XL der Math. Ann. S. 200 — 203 von mir 

 angefiihrte in aller Kiirze hier erwähnt sein. Es handelte sich dort um Kreiskon- 

 gruenzen, die einfach unendlich viele Orthogonalflächen und unter ihnen eine beliebig 

 genommene besitzen, und die beiden Flächen, die zusammen die volle Brennfläche 

 einer derartigen Kongruenz ausmachen, wurden als Integrale einer partiellen Diffe- 

 rentialgleichung zweiter Ordnung bestimmt. Diese Flächen wurden ferner als zu zwei 

 verschiedenen Gebieten R^ und R\ gehörig betrachtet, und die eine aus der anderen 

 durch eine Transformation hergeleitet, bei der jedem Elemente des einen Gebietes 

 ein Streifen des anderen entspricht. Wenn nämlich F die erstere Fläche, die beliebig 

 als eine der möglichen Orthogonalflächen gewählt ist, und C einen Kreis bezeichnet, 

 der auf F in, sägen wir, dem Punkte c senkrecht steht, und wenn durch C die zwei 

 Kugeln gelegt werden, die im Punkte c die durch ihn hindurchgehenden Kriim- 

 mungskurven von F beriihren, so muss bei der in Frage stehenden Transformation 

 jedem Streifen (*S^) der einen Kugel längs C jedes Flächenelement (2' x y p q) des 

 Streifens der anderen Kugel längs desselben Kreises G entsprechen. Diese Trans- 

 formation gehört dann freilich den in N. 34 erörterten an, ist jedoch eine sehr spe- 



