62 A. v. BÄCKLUND, UBKR MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



zielle/ Denn wir erhalten die beideii Scharen von Charakte ristiken der entstandenen 

 partiellen Differentialgleichimg zweiter Ordnung des B^ als Umhiillungen je einfach 

 unendlich vieler jener S und ausserdem immer die von diesen Streifenscharen ge- 

 bildeten Flächen als Integrale der Gleichung. (Vgl. den Schluss der N. 34.) Dem- 

 zufolge ergibt auch jede Integralfläche der partiellen Differentialgleichimg 2. O. des 

 i?3 einfach unendlich viele, sich auf die Kriimmungskurven der Fläche F besonders 

 beziehenden Integralflächen der letzteren Art und deren Umhiilhmgsgebilde als ein 

 neues Integral derselben Gleichung, wobei dann diese als Gleichung in R'^ geschrieben 

 wird. Unsere Transformation niynmt daher gewissermassen eine Mittelstellung zwischen 

 die Transjormatiojien {76), {77), {106) und diejenigen allgemeineren der Form {74) 

 ein, die auch zu partiellen Dijferentialgleichungen 2. O. in B 3 und B's fuhren. 



38. Zuletzt noch eine Bemerkung iiber die Charakteristiken solcher Paare von 

 partiellen Differentialgleichungen 3. O., die die Flächen bestimmen, die bei einer 

 Transformation (74) allgemeiner Art als Flächen fortbestehen. 



Die zwei partiellen Differentialgleichungen 3. O., die hierbei in Frage kommen, 

 sind derart mit einander verbunden, dass von ihren ersten Derivierten in Bezug auf 

 X und y eine die algebraische Folge der drei anderen wird. Wenn also 



f{z, X, y, j), q, r, s, t, t% fl, el, f') = O, 

 cp{ ) = O 



zwei Gleichungen dieser Art darstellen sollen, so muss fiir ihre sämtlichen gemein- 

 samen Werte von z, x, . . . el eine Relation: 



mit Zi, I2, Hl, 112 unabhängig von den vierten Differentialquotienten von z identisch 

 gelten. 



Die lineare partielie Differentialgleichung vierter Ordnung: 



känn dann auch fiir die den Gleichungen / = 0, rp^O gemeinsamen Elemente {z x y 

 p q r s t el el el el) unter der Form: 



^ Eiu beliebigcs Element (z' x' y' fl q') gehört als Flächenelement qo ^ Kugelii zu. Eine jede von ihnen 

 stclit im allgemeinen in wenigstens einem Punkte (c) .senkrecht auf T, und es gibt damm im allgemcinen von 

 jcnen Kugeln wenigstens eine, die in dem betreffendcn Punkte c eine Kruminungskurve der Fläche /' berulirt. 

 Auf letzterer Kugel geht durch den erstgenommenen Punkt {x\ y\ z') ein Kreis, der auf /' im Punkte c senkrecht 

 stelit. Ich nenne ihn C. An C häftet das Element iz' x' y' p' q'). Der Streifen, der durch C geht senkrecht 

 zu jener Kugel, ist aus denjenigeu Elementen (2 x y p q) zusammengesetzt, die bei der vorliegenden Transfor- 

 mation jenem (z' x' y' p' q') entsprechen. Auf ganz dieselbe Weise korrespondieren die Elemente (z x y p q) des 

 R3 mit Streifen in i?'., so dass im ganzen 00 * auf einander eindeutig bezogene Streifen (S) der beiden Räume 

 i?3 und R'g hcrauskommen. 



