64 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Diese neue Reihe steht in demselben Verhältnis zu den beiden Gleichungen / = 0, 

 f/) = wie die vorhergehende, indem nämlich durch ihre Elemente sowolil diesen Glei- 

 chungen selbst als auch ihren ersten und zweiten Derivierten in Bezug auf x und y 



Geniige geschieht. Dass dies mit / = 0, fp = 0, y- = 0, . . . -^^^ = der Fall ist, folgt 



aus den in sie einzufiihrenden Werten von f ? , tf . Dass dies auch fiir die zweiten 

 Derivierten von / = 0, (p = zutrifft, erkennen wir sogleich auf folgende Weise. In- 

 dem wir in (f) und (g) y = <D{x) usw. aus (c) einsetzen und sie danach in Bezug auf 

 X einmal differentiieren, erhalten wir drei Gleichungen zwischen 



O" 



^ d''f dy dy d^cp d^p 



^ dx^' dxdy' dy'^' dx'^' dxdy' dy"^' 



die schon durch die Werte (h) von z, x, ... st, z + dz, ...£*+ det befriedigt sind. 

 Durch Differentiierung der Identität (110) in Bezug auf x und y ergeben sich zwei 

 neue Gleichungen zwischen denselben Differentialquotienten (1), die jedenfalls auch 

 erfiillt sind. Durch (i) und (k) werden daher Werte von £[, fl,...el bestimmt, die 

 sämtliche Differentialquotienten (1) auf Null herabbringen. 



Wir finden also zu dem beliebig genommenen Streifen (c) erstens go ' neue damit 

 vereinigt liegende Streifen derselben Art, sodann zweitens zu jedem der letzteren 

 einen, aber auch nur einen damit vereinigt liegenden neuen Streifen, zu diesem einen 

 neuen solchen, u. s. f., sämtliche Streifen den Gleichungen f = 0, fp = geniigend. 

 Aus ihnen setzt sich somit eine der emjach unendlich vielen Fläcken zusammen, die (c) 

 enthalten U7id gemeinsame Integrale von / = 0, (p = sind. 



Aus dem jetzt Auseinandergesetzten leuchtet auch ein, dass umgekelirt ein jedes 

 Flächensystem, das durch jeden heliehigen Streifen einjach unendlich viele Flächen 

 schickt, das vollständige Integralsystem zweier partieller Dijferentialgleichungen dritter 

 Ordnung biidet, deren erste Derivierten in Bezug auf x U7id y sich auf nur drei Glei- 

 chungen reduzieren.^ 



Weil nun / = O ein erstes Integral von (a) und r/) = O ein erstes Integral von 

 (b) ist, so werden die gemeinsamen Integralflächen von / = 0, (p = auch Integrale 

 von (a) und (b). 



Wir nehmen aus ihnen eine beliebig heraus. Auf ihr verlaufen drei Scharen 

 von Streifen, die fiir / = O und dann auch fiir (a) Charakteristiken sind. Dies be- 

 deutet, dass die Gleichungen (g) und (h), wenn der Streifen (c) eine solche Charak- 



^ Hieran schliesst sicli folgeiuler Beweis des am Ende des vorhcrgehcndcn Paragraphen angefiihrten Satzes 

 von denjenigen Flächen (F^), welclie die Integralfläclien (F) einer gegebenen partiellen Differentialgleichung 

 1. O. (fi = 0) zu Zentralflcäclien komplettieren. Einem beliebigen Streifen in R"^{x", y", z") entspreclien ver- 

 möge (68) einfach unendlich viele Streifen in R^ix^ 2/> 2j, die der Gleichung i2 = O geniigen. Durch einen 

 jeden dieser oo ^ Streifen geht somit eine Integralfläche {F) von f2 = O, und jeder dieser cc'^ F eutspricht eine 

 partielie Differentialgleichung erster Ordnung i2" = O des ^"3, die den erst gedachten Streifen, den in R"^, 

 wegen jener (68) als Integral enthält. Durch diesen Streifen, der beliebig genoniinen war, geht also gewiss eine 

 Integralfläche i'^, einer jeden der erwähnten einfach unendlich vielen partiellen Differentialglcichungen ii'' = 0: 

 also gehen nicht weniger als co ' der gesuchtcn F^ durcli denselben Streifen, und darum crfiillen, nach dem 

 Obigen, die sämtliclien fraglichen Fläclieu F^ zwei partielle Differentialgleichungen 3. O., deren erste Derivierten 

 sich auf bloss drei Gleichungen reduziercn. Wie andrerweise in N. 23 bewiesen wurde. 



