KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 65 



teristik ist, und wenn die der herausgenommenen Fläche gehörenden Werte von 

 r, s, t, e\,..el längs des Streifens angewandt werden, nicht weniger als oo ^ Werte 

 von «*,..£* ergeben. Alle diese Streifen brauchen jedoch nicht notwendig, wie man 

 vielleicht aus (f) und (110) erwarten wiirde, den G\e\ch\n\gen d(pldx = 0, d(pldy = z\\ 

 geniigen, denn es könnte in (110) ,"2 : ,"i = ö5' (^) vs^erden, und dann wiirde (110) uns 

 nicht mehr als die zweite der Gleichungen (f) sägen. Dies känn aber nur fiir die 

 eine der fraglichen drei Charakteristikenscharen der betrachteten Integralfläche gelten. 

 Deshalb bestehen sicherlich zwei jener Streifenscharen aus fiir / = O und (/) = O ge- 

 meinsamen Charakteristiken. 



Diese zwei partiellen Differentialgleich ungen 3. O. / = 0, ff = 0, fiir die (110) 

 als Identität gilt, haben somit 00 ■" Integralflächen mit zwei darauf verlaufenden Scha- 

 ren von Charakteristiken gemein. Durch irgend einen beliebigen Streifen gehen 00 \ 

 durch besonders eine Charakteristik 00 "" derartige Integralflächen. Diese Charakteri- 

 stiken besitzen offenbar dieselbe Eigenschaft hinsichtlich sowohl (a) als (b). Diese 

 Gleichungen (a) und (b) werden iibrigens fiir die gemeinsamen Elemente {zx . .e\. . e\. . .) 

 der zwei Gleichungen / = 0, (p==0 mit einander identisch. Sie miissen daher auf jeder 

 der betrachteten Integralflächen dieselben vier Scharen von Charakteristiken bestim- 

 men. Von diesen gehören, wie gesagt, zwei als Charakteristiken gemeinsam zu beiden 

 Gleichungen / = 0, 9^ = 0. Die Streifen der dritten Schar sind zugleich Charakteristi- 

 ken von / = 0, und zwar nur von / = 0, nicht von ^ = 0, die der vierten Schar Cha- 

 rakteristiken nur von r/) = 0. 



(Allgemeinere Ausfiihrungen iiber diesen Gegenstand sind in meiner Abhand- 

 lung: Zur Theorie der partielleyi Dijjerentialgleicliungen zweiter Ordnung in Math. Ann. 

 Bd. XV S. 76—78 N. 31 zu finden. — Die Berichtigung eines S. 83, 84 daselbst be- 

 gangenen Fehlers findet man in meiner Abhandlung in Bd. XVII der Math. Ann. 

 S. 325—327.) 



II. 

 Uber Kugelkomplexe. 



In N. 18 habe ich eine Korrespondenz zwischen zwei Räumen B.i{x, y, z) und 

 It\{x , y, z) behandelt, bei der jedem Punkte von B^ einfach unendlich viele Flächen 

 von B.\ und jedem Elemente {z x'y' p' q) des letzteren Raumes eine Kurve des ersteren 

 entspricht, und jene Betrachtung habe ich dann in N. 20 — 23 besonders fiir die Theorie 

 der Normalen und der Evoluten öder Zentralflächen verwertet. Die letztere Theorie ist 

 jedoch seit den Arbeiten von Lie und Klein in den Math. Annalen vom Jahre 1871, 

 besonders seit der von Lie: Uber Coiwplexe, inbesondere Linien- und Kugel-Coniflexe, 

 mit Anwendung auf die Theorie yartieller Dijferentialgleichungen (Math. Ann. Bd. V), 

 in der Hauptsache nur als Glied der allgemeinen Theorie der Kugelkomplexe anzu- 

 sehen, Aber auch diese allgemeinere Theorie ist unter den vorangehenden noch allge- 

 meineren Erwägungen enthalten. Dies folgt schon aus N. 10. Ich werde jedoch 

 jetzt auch andere sicli hieran kniipfenden Verallgemeinerungen angeben. 



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