66 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDÉUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



§ 5. 



P.irtielle Differeiitialj»leiclmiijj;eii der Kiigelkoiuplexe. 



39. Die Transformation (63") der N. 20 ist, wie ans dem dort Erörterten ein- 

 leuchtet, durch geeignete Differentiierungen aus der Gleichung: 



(1) {x'-xy+{y' — y)' + {z'-zy---R'=0, 7?arb., 



sehr leicht zu erhalten. Das Bild einer Gleichung: 



(2) F{x,y,z) = 



in B's wurde auch demgemäss als der Inbegriff der Evolventenflächen der Fläche 

 F = bestimmt. M. a. W., jede der Bildfläclien hat die Mittelpunkte ihrer Haupt- 

 kugeln der einen Schar auf (2). Wenn dagegen keine Fläche (2), sondern eine durch 

 eine Gleichung: 



(3) F{x, y, z, R)^0 



aus dem Inbegriffe aller Kugeln (1) des B' 3 ausgeschiedene dreifach unendliche Schar 

 derselben, also ein Kugelkom/plex vorliegt, so geniigen jene Gleichungen (63") freilich 

 nicht, um eine Abbildung dieser Gleichung (3) auf B\ zu bewirken. Dies folgt ein- 

 fach daraus, dass wir es jetzt mit zwei dreidimensionalen Räumen zu tun haben, 

 nämlich mit dem aus Bi[x, y, z. B) durch (3) ausgeschiedenen und dem B\{x , y, ?!), 

 und dass eine Abbildung des einen auf den anderen nur dann einen bestimmten Sinn 

 bekommt, wenn wir dieselbe von einem speziellen Gesichtspunkte aus vornehmen, 

 also z. B. wenn wir den zwei Gleichungen (63"), die mit den zwei ersten der Glei- 

 chungen (26') der N. 10 zusammenfallen, nocli die drei letzten derselben Gleichungen 

 (26') beifiigen. Dann wird eine ganz bestimmte Abbildung von (3) auf B!^ definiert, 

 hei der eine partielle Dijjerentialgleichung 1. O. als Bild des Kugelkotwplexes auftritt. 

 Dies folgt sofort aus N. 10, ebenso dass die Tntegralflächen dieser den Komplex [3) 

 abbildenden partiellen Dijjerentialgleichung in B^ diejenigen FläcJien sind, deren Haupt- 

 kugeln der einen Schar eben die Kugeln des Komplexes {3) sind. Fiihren wir aber 

 vorab, um die Formeln der erwähnten N. unverändert anwenden zu können, statt 

 der Bezeichnungen 



x', y\ 2', X, ?/, z, B 



die der gleichen Bedeutung der N. 10 



X, y, z, Xj , Xj , X3 , ZV — 1 



ein. Wir entnehmen dann weiter aus der zitierten N. den folgenden Satz betreffs 

 zweier Kugelkomplexe, deren Differentialgleichungen Integrale zur grösstmöglichen 

 Zahl gemein haben, öder, wie ich sage, Kugelkomplexe, die involutorisch sind : daniit 

 zivei Kugelkomplexe : 



