KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4- 67 



(4) F{Z, X„ X„ X,)^0, G{Z', X',, X'„ X',) = 



im angegebenen Sinne involutorisdi werden, ist yiotwendig und hinreichend, dass zu jedem 

 Wertsysteme von Z, Xi, das die Gleichung F = befriedigt, ein Werlsyslem von Z\ X'i 

 gehört, das sowohl der Gleichung G=^0, als auch sämtlichen folgenden Gleichungen geniigt: 



{Z-zr + ^{Xi-X'iY = o, 



F'(Z){Z-Z') + 2^'i^i)(^i--'^'i)=^' 

 (5) 



G'{Z'){Z~Z^)+ 2iG'{X'i){Xi~X'i)^0, 

 i=l 



3 



F'(Z)G'(Z') + ^F'(Xi)G'(X'i) = 0. 



2-1 



Die erste Gleichung folgt aus (24') und (m) der N. 10 fiir Z = Z', Bi = X\, die 

 zweite und dritte aus (1), (V), (m) daselbst; die vierte ist genau die Gleichung (n) 

 derselben N. 10. 



In meiner Abhandlung vom Jahre 1873 in Lunds universitets Årsskrift: Ett bidrag 

 till Kidkomplexernas teori habe ich vor langem diesen Satz abgeleitet und zugleich 

 seinen Zusammenhang mit einem Satze von den Evolutenflächen hervorgehoben. Die 

 blosse Zusammenstellung der letzteren Gleichungen (5) mit den Gleichungen (68) der 

 N. 23 zeigt uns nämlich, dass irgend zwei Fläcken des Ri{Z, X^, X2, X3), die zwei 

 involutorische Kugelkomplexe des Bi{x, y, z) vertreten, sich in Bezug auf ihre gemein- 

 samen Tangenten von der Länge Null ganz so verhalten wie unter sich die beiden Man- 

 telflächen einer Evolute des B^ in Bezug auf ihre sämtlichen gemeinsamen Tangenten. 

 Wir erkennen ja aus (5), dass die zwei M^[^) des Bi in den Beriihrungspunkten 

 {Z, Xj, Xg, X3) bez. [Z' , X'i, X'2, X'3) irgend einer ihnen gemeinsamen Tangente von 

 der Länge Null Tangentenebenen besitzen, die auf einander senkrecht stehen, und 

 aus (68) der N. 23, dass dies mit den Tangentenebenen der zwei Mantel einer Evo- 

 lute des i?3 in ihren Beriihrungspunkten mit einer beliebigen ihnen gemeinsamen 

 Tangente der Fall sein muss. 



Eine Elimination von Z, X^ aus F{Z, Xj, X^, A^3)=0 und den vier Gleichungen 

 (5) fiihrt zu einer Gleichung zwischen Z, X'j und den ersten Derivierten von G, die 

 homogen in Bezug auf letztere wird und of f enbär als partielle Differentialgleichung 

 fiir G betrachtet durch ihre Integrale alle mit i^ = O involutorische Komplexe (r = O 

 bestimmt. 



40. Indem wir uns die Gleichungen (4) nach Zund Z' aufgelöst denken, schreiben 

 wir die Gleichungen (5) unter folgender Form: 



