68 A. v. BÄCKLUND, iJBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONBN. 



{z-z'r~ + ^{xi-x'iy- = 0. 



3 



(6) 



3 



2 — 2' — 2 P'i{^i — ^'i) = 0. 

 i=l 



3 



1 + yiPiP'i=-o, 



i=l 



wobei wir uns clann der kleinen Buchstaben statt der grossen bedient und der Kiirze 

 halber die partiellen Differentialquotienten Oz/dxi, dz/dXi mit 'Pi bez. p'i bezeichnet 

 haben. 



Fiigen wir zu diesen Gleichungen eine neue von demselben Typus: f{z, Xi, Pi, 

 z, x'i, 'Pi) = ^ hinzn, so tritt uns eine ähnliche Aufgabe entgegen wie die oben durch 

 die Gleichungen (74) gegebene, nämlich die Aufgabe, Funktionen z, z, x^, x'2, x\ von 

 Xi, X2, Xg zu bestimmen, welche die vier Gleichungen (6) und die neue: / = be- 

 friedigen. 



Nnr in den allgemeinsten Ztigen werde ich die Erledigung der Aufgaben dieser 

 Art besprechen. 



Ich nehme dann an, dass fiinf beliebige Gleichungen der Form: 



(7) Fu{z, X,, X,, X3, ih, ih, Ih' ^', ^'n ^'2, ^'3. 2^'i> V'2> 2^) = 0, ^-=1, 2, 3, 4, 5, 



vorliegen und ziehe ganz beliebig in i?4(z, x^ eine ilf 3 : 2 = f/) (Xj , Xo, x^), fiihre danach 

 in jene Gleichungen, die ich nunmehr als Transformationsgleichungen zvvischen i?^ 

 (z, Xi) und B\{z', x'i) auffasse, (p, (p'{Xi) fiir z, Pi ein, und wende schliesslich etwa 

 7^1=0, 7^2 = 0, i^3 = zur Bestimmung von Xi, .r^, ^3 durch die akzentuierten Buch- 

 staben an. 



Vorausgesetzt dass mit diesen Werten von z, Xi, X2, x-^, pi, p)-i, Ih die zwei letzten 

 unserer Transformationsgleichungen in die folgenden iibergehen: 



F\{z\ x\, x\, x\, p\, p\, j)'3) = 0; 

 (8) 



F'A )=0. 



suchen wir, wenn möglich, (p so zu bestimmen, dass diese Gleichungen eine ilfg als 

 gemeinsames Integral z'=-ip{x\, x'2, x'^) bekommen. Zu dem Zwecke stellen wir die 

 In volutionsbedingung : 



(9) [F\F',-]--^0, 



auf, die freilich fiir alle Flächenelemente {z x'i p'i) der fraglichen ilf 3 statthaben miisste. 



Um in einer explizierteren Form die Bedingung (9) zu erhalten, möchten wir 



zunächst bemerken, dass, wenn allgemein /' {z, x\, x^, Xz, p\, p^, p'3) den Wert von 



