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A. V. BACKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLACHENTRANSFORMATIONEN. 



j:^j^^[F,Xi\^{h\F,y, 



dx^ dx-, dx^ 



dF,dF, dF, 

 dx^ dx., dx^ 



zi:^^f^':[xiF,:\ = [F,F,'\ 



dF^dJ\dF, 

 dxi dx2 dx^ 



dF^dFj^dF, 



^-^-^Sl^-^"i-l^'^-l« 



Form 



(10) 



dF,dF^dF, 

 dx^ dxn dxj 



dF^ dF\ dFr, 



+ [F,F,-\n: 

 + [F,F,]u. 

 + [F.. F,-\u' 



dF\dF\dF\ 

 dx^ dx., dxj 



df\ dFj dj\ 

 dxi dx., dx^ 



-[F.,F,h' 

 -[F,F.ri;, 



[F,F,]u' 



Die Involutionsbedingimg (9) bekommt darnit die symmetrische zehngliedrige 



dFadFi^dFc 



d^dF\dJ\ 

 dx^ dx^ (Ixj 



dxi dx, dx^ 



[FaFe]u'^0, a,b,c,d,e= 1,2,... 5; 



wobei aus einem beliebigen Gliede der Siimme jedes andere durch von Zeichenwech- 

 sel begleitete Vertauschung je zweier der Buchstaben a,b, . . . e hervorgeht. So z. B. 

 leiten wir aus dem von (9') erfolgten ersten Gliede dieser Summe 



dF,dF., dF, 



Ct %JC \ ev tC ■) Cv it-o 



[F,F,]n' 



durch Vertauschung von 3 und 5 das Ghed ab: 



[F-.F,]n', 



dF, dF,dF, 

 dxy dxo, dxj 



hieraus durch Vertauschung von 2 und 4; 



dJ\dFjdF, 



[F.,F^\w, usw. 



Aus unserer Beweisjulirung geht ilberdies hervor, dass dieselbe Formel {10) ebenfalls 

 dann gilt, wenn Fiausser z, Xi noch Difjerentialquotienten beliebiger Ordnungen von z, also 

 Pi,'Piu usw., dagegen von den akzentuierten Grössen nur z,Xi,'Pi enthält. 



41. Nach dem eben Auseinandergesetzten wird die Gleichung (9), unter die 

 Form (10) gebracht, in den akzentuierten Buchstaben eine partielie Differentialglei- 

 chung erster Ordnung, dagegen in den unakzentuierten der zvveiten, und die folgenden 

 Gleichungen : 



(11) 

 und 



(12) 



[F', [F\ F,]] ^ o, [F', [F\ i^',]] = O 

 •• [F, [F', [F, FM ~= O, [F, [FdF\ F.Ul = O, 



[^'r.[ ]] = 0, [Fd ]] = 0, 



[[F'J^',][ ]] = 0, [[F,F,][ ]J = 0, 



