KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 71 



wiirden ebenfalls, wenii sie unter clie Form (10) gebracht wurden, in den akzentuierten 

 Buchstaben sämtlich partielle Differentialgleichiingen der ersten, dagegen in den 

 iinakzentuierten der dritten bez. der vierten Ordnimg. Wäre die hier imd in voran- 

 gehender Nummer vorausgesetzte Mr^ :z = (p{Xi, Xo, x^) der gesuchten Art, die zu zwei Glei- 

 chiingen F\{z , x'i, pi) = 0, -^'5(2;', x'i, pi) =0 mit wenigstens einer gemeinsamen Integral- 

 3/3 fiihrete, so miissten sicher auch die Gleichimgen (10), (11), (12) durch die Flächen- 

 eXemente {z Xi/pi) letzterer M^ erfiillt werden.^ Die Gleichungen (12) zälilen aber nur 

 fiir fiinf iinabhängige, denn nach der jACOBi-MAYERschen Identität: 



[/['/</']] + [T['/'/]] + ['/'[/7']] = -^^T'/'] -f|['/^/]-|^[/7'], 



wobei /, fp, V irgend welche Funktionen von z, x i, p', bedeuten, etwa jetzt / =i^'4, fp=F\,, 

 xli = {F\i'r^, muss fiir die gemeinsamen Elemente (zXiPi) von F'i = 0, F\ = 0, 



[F\F;]=0, [F\[F\F',]] = 0, [F'dF',F',]] = sein: 



(13) [F'dF',[F',F',]]] = [F',[F',[F',F',-]]]. 



Bemerken wir dann, dass die Gleichungen der ersten Vertikalreihe von (12), als 

 Gleichungen von den unakzentuierten Buchstaben befreit geschrieben, den vollstän- 

 digen ersten Derivierten in Bezug auf x\, x\, x\ der ersten Gleichung (11), und dass 

 ebenso die Gleichungen der zweiten Vertikalreihe derselben (12) den ersten Derivierten 

 der zweiten (11) äquivalent sind, — sie sind ja nämlich aus diesen Derivierten und 

 denen von F\, F\„ \F\ F'5] linear zusammengesetzt und letztere Derivierten verschwin- 

 den fiir das angenommene gemeinsame Integral in Ä'3, — so verstehen wir, dass die 

 Gleichungen : 



(14) [F,[i^',F-J] = 0, 



(15) [F, [F, [F, FM -O, [F, [F, [F, F,]]] = O, [[F, F',] [F\ [F, F^ = O 



mit einander so zusammengehören, dass, besonders auf Grund von (13), die ersten 

 Derivierten von (14) mit (15) zusammen nur fiir fiinf von einander unabhängige 

 Gleichungen, ferner die ersten Derivierten von (15) fiir nur seclis und damit diese 

 mit den zweiten Dirivierten von (14) zusammengenommen fiir nur neun von einander 

 unabhängige Gleichungen zählen. 



Entfernen wir nachher mit Hiilfe von (7), (10) und der ersten Gleichung (11), 

 unter die Form (10) gebracht, die akzentuierten Buchstaben z , x'i, pi aus (14) und 

 (15), auch diese vorab unter die Form (10) gebracht, so bekommen wir sie als Be- 

 stimmungsgleichungen der gesuchten Funktion (p = z; die erste dieser Gleichungen, 

 (14), sie heisse 



(14') V(z,x,, . . .p,,,)=-0, 



wird eine partielle Differentialgleichung der dritten Ordnung, die anderen Gleichungen, 



^ Dio Glei(;liungeii (7) siiul selbstverständlich, wenii nötig, Iiierhei ziu- Htilfe zu nehnicn. 



