72 A. v, BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTFGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



(15), sie möchten heissen 



(15') Wi{z,Xi, . . .p.,rj = 0, Ifo(2,a-,, . . . ?)3,3,) = 0, Tfalz.^i, ■ • • P3333) = 0, 



werden von der vierten Ordnung. Weil sie sicli von (14) bez. (15) nur formål 

 iinterscheiden, miissen sie unter sich in wesentlich derselben Weise wie diese ver- 

 kniipft sein. Die ersten Derivierten v^on F = liefern dann in Verein mit Tri = 0, 

 1^2 = 0, 173 = fiinf, aber bloss fiinf verschiedene Gleiclmngen fiir die vierten Diffe- 

 rential quotienten Pjkim von z, die zweiten Derivierten von F = zusammen mit den 

 ersten Derivierten von (15') bloss neun Gleichungen fiir die fiinf ten Differential quo- 

 tienten derselben z, usw.; die Derivierten von (14'), (15') liefern im allgemeinen bloss 



^ ~ Gleichungen fiir die n:ten^ Differentialquotienten von z, deren Anzalil 



{n+l ){n + 2) .^^_ 



Daraus dass letztere Zahl grösser, sogar um niclit weniger als 2{n+ 1) grösser 

 als erstere ausfällt, liaben wir zu schliessen, dass es unendliclifach unendlich viele 

 Lösungen ~ = r/) (xj , .rg , ^'3) unserer Aufgabe gibt. 



42. Hierzu ist noch folgendes zu bemerken. Sei beliebig eine M2 gegeben: 



( 1 r.) . z = f {x, , X,) , X, -= V (--^2 , ^•3) , ?'i = z {^2 , ^?) ; 



ihr gehören auch die Gleichungen:^ 



df O III ^ Of dil> 



^ ' ()x^ ^dx^ '^ ()x., ^"dx^ ^^ 





(l'^'") ^å-^"^-^'^^''4~^"^,"^^'^^'' 



dxn OXi dx.^ '^^3 



dx, '^''dx, ^'' ' 



dn,, d 4> O V, t <^'P 



dx, ^'''dx, ^'" "' dx, ^'''dx, ^"' ' 



Öp,3_ ^_ _f. 



dx, '^'''dx, ^''" ' 



' ' n> 3. 



- Sielic meiiic Al)liaii(lliing: Ziir Thrnric dry Ch<(r(tl-lrfhf'il-rt) der par/ifJIni Diffrrriifidh/Jfirjiiiufirn 

 zirrUci- Oniiiamj. Matli. Ami. Bd. XIII S. 411. 



