74 A. v. BÄCKLUND, OBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



inid bemerken dann /Ainächst, dass — weil sich die ersten Derivierten von (20), ganz 

 so wie es mit denen von (15') der Fall ist, auf nur sechs von einander unabhängige 

 Gleicliungen reduzieren niiissen und IFj =0 ihre iirspriingliche Form in z, x^, ^2, cc^, pi, 

 etc. bewahrt hat und daher auch drei verschiedene erste Derivierten in Bezug auf 

 Xi, x^, x^ liefert, — die ersten Derivierten der anderen Gleichungen: 



(21) w,_^0, w 



nur als drei von einander unabhängige Gleichungen zu zählen seien. Also werden die 

 Gleichungen {21) zivei derartige partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung fiir p^i 

 mit To, a'3 als unahhängigen Variablen, die als erste Integrale verschiedener Scharen einer 

 partiellen Dijjerentialgleicliung dritter Ordnung jungieren können, ^ und sie haben deshalb 

 00°° Integrale: Pn=^(o{x2, x^) mit einander gemein. 



Fiigen wir irgend eines dieser Integrale: ?)ii=w(.r2, x-^) den Gleichungen (16) 

 hinzu, so haben wir hiermit eine der oo°° an unserer M2 (16) haftenden 31^ ausge- 

 schieden. Sämtlichen Derivierten der Gleichungen (19), (21) wird durch diese 31'^ 

 fiir die von (14') (17) gelieferten Werte der pj,,/ geniigt. Was ferner die zuriickgeblie- 

 bene Gleichung lFi = betrifft, so gilt von ihr, dass sie im Verein mit (18) zu jedem 

 Punkte {x2, x^) der Tlfg bestimmte Werte der Piuim ergibt. Hierdurch werden dann 

 auch gewisse zwei auf dieselbe il^fg bezogene lineare Kombinationen der ersten Deri- 

 vierten von lFi = befriedigt. Der Bezeichnung (19) gemäss hatte man diese Glei- 



chungen durch 



[dx^j '[dxj] 



zu kennzeichnen. Denken wir uns hernach die der 31' 2 zugehörenden zwanzig Glei- 

 chungen (der Form (16'")) fiir die fiinften Differentialquotienten von z aufgestellt 

 und hierbei die vorigen Werte von Pm,n angewandt, so ergibt zufolge dieser Gleichun- 

 gen die einzige Gleichung 



dW, 



dxi 



= 



einen bestimmten Wert von 27iiiij und damit auch diejenigen Werte der fiinften Dif- 

 ferentialquotienten von ~, die unserer M'2 und unseren Gleicliungen (14'), (15') gleich- 

 zeitig geniigen. In derselben Weise erkennen wir in Betreff der höheren Derivierten 

 von lFi==0, dass bei Anwendung der schon erhaltenen Werte v^on Differentialquo- 

 tienten von z eine jede Gruppe fraglicher Derivierten von ein und derselben Ordnung 

 nur eine neue Gleichung fiir die in ihr vorhandenen höchsten Differentialquotienten 

 von z abgibt. Wir gelangen dann schliesslich zu einem einzigen Wertsysteme der 

 dritten, vierten, fiinften, sechsten und höheren Differentialquotienten von z, welches 

 unserer ilf'2 und den Gleichungen (14'), (15') geniigt. Unler den gesuchten Integral-3l3 



^ Siehe meiiie Abhaiulhing: fjchcr 2)a)ik'Uc Diffcrcutiahjlcichiirigc» hölierer Ordnung etc. in Matli. Ann. 

 Ed. XIII S. 83—87. 



