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A. V. BACKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLACHENTRANSFORMATIONEN. 



dagegen die aiideren [FiFj,]ji, gleich NuU. Die Gleichung (10) nimmt somit im gegen- 

 wärtigen Falle die Form an: 



dx^ dx-, dx-j 



(V 



dF,dF, dF, 

 dx^ dx., dxy 



^ •* ^ dx\ 



dF, dJ\ dF, 

 dXi dx, dx.^ 



(1 + lpi)=0. 



Und wenn wir hernach zur Abkiirzung 



J statt \x^ — x\, p,,p',\:{z — z'){l + 2p]){l + 2p1|, 

 il> i^, t], C) statt 2hi i' + 2 Ih2 i >] + 2 ?J,3 i' 'i + V22 'f + 2 'P,, ri 'Q + p 



^2 

 33 3" 



einfiihren, bekommen wir: 



dJ\dF,([F\ 



dxi dxn dxy 



dF.dF.dF, 

 dx^ dxn dx^ 



dt\dF\dt\ 



2 ipix, — x\ , x^ — x\ , X3 — x',) ip {p\ , p', , p',) — 1/4 {:S v'i ^P' {Xi -x'i))^ 



J 



J^ ^ ^ Ox. 



1 + 2>' 



v^'? 



Hiermit driickt sich die Bedingmig (10), d. i. die Involutionsbedingung {F\F\'\ = ^, 

 jetzt so wie folgt aus: 



(23) il>{x-x'){\^ ^ p'l) p, ^^ - y {x - x') «/' ip') - I (2 p'^ 4'' {Xi - x'i)y\ (X, - x\) ^ + 



<. <'f 



+ {l+2pl)(l+2p'!){x,-x',)^ = 0. 



Wenn diese Gleichung kiirzer als U = bezeiclinet wird, bekommen wir fiir 

 \F\[F\FJ\^0 die Form: 



(24) V (:r - .■»^') ( 1 + :^ v'! ) ^Pi i^. - {'/' (x - x') <l' ip') - 'A (^ ?A </'' {xi - x'm I {xi - x'i) ^ + 



+ (1 + 2pl){\ + 2?/|)2(av- :i-',)^ - '1,^ p^iil>' {xi - x'i)2{pi- p'i)'^^ = , 



und fiir [F\iF^F\~\] = die Form: 



(25) il> [x -x'){\ + 2 p'! ) ^ ^ + {p'3 {X -x')- V2 (X3 - x',) I p'i >p' {xi - o;',)) Jj- - {x - .r,) ^^. + 



df 



+ (1 4 -p7)(.r3-.r'3),-^:^(p,-^',)) 



,^. ^7?7 



f^p't 



|</^ (a— x') 2 p'i f^ - y, 2 p'i 0' {xi - x'i) - {Xi - x'i) fA {X, - x\) -^^ = O . 



