78 A. v. BÄCKLUND, (JBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



woraus unter Beriicksichtigung der folgendeii ans (6) imd (27) herzuleitenden Rela- 

 tionen : 



2/-2/' = -|£|-'(^-^'). (|E7)'(1 + V'-\-q'){^+V^' + q") + {x,~x\Y = Q, 



hervorgeht, dass: 





al so 



(28) 



IL 

 rt—s^ 1 OR 



OR' 



eine seit der Abhandhmg von Wéing arten: Ueber eine Classe auf einander abwickel- 

 barer Flächcn in Crelles Journal Bd. 59 wohlbekannte Formel fiir das Kriimmungs- 

 mass einer Evoliite der gesiichten Art. 



Das Glied von (28) reclits des Gleichheitszeichens wird wegen / = Funktion 

 von R allein. Wenn wir dalier den allgemeinen Ausdruck des Kriimmungsmasses 

 mit bezeichnen und demgemäss die Gleichung (28) unter der Form ^ — F{R)=0 

 darstellen, haben wir in (24), (25) einzusetzen 



U = (I) — F{R) 



und schliessen dann aus (24), dass wegen (27): 



(29) ix-x')f^ + {y-y')fl^ + {R-R')F'{R) = 0, 



und aus (25), dass: 



Diese Gleichungen ergeben aber nicht was die Flächen (26) besonders charak- 

 terisiert. Die Gleichung (30) besagt nämlich nur, dass auf der Fläche s = r/i (x, y) die 

 Kurven tf> = Konst, die Richtung {'p,q, — 1) haben und darum die Geraden {x — x, 

 y — y , z — z) senkrecht schneiden; die Gleichung (29), dass der senkrechte Abstand 

 zwischen den Kurven = C und (I)=^G + dC auf derselben Fläche gleich — dC:F'{R) 

 und also konstant ist, und dass daher alle Kurven d) = C geodätisch parallel sind. 

 Aber hier fallen die Kurven fl> == C mit den Kurven R = C zusammen, und immer 

 werden auf der Evolute einer beliebigen Fläche, deren Hauptkriimmungsradien R,R' 

 sind, die Kurven i? = Konst, unter sich und die Kurven i?' = Konst, unter sich geo- 

 dätisch parallel, und R — R' wird geodätischer Kriimmungsradius derselben; aber dieser 

 ist also hier konstant und darum die Fläche z = (p auf eine Rotationsjläche ahicickelhar. 

 (Weingarten). — Die geodätischen Linien, die von den Kurven R = C senkrecht 

 geschnitten werden, umhiillen die Geraden {x — x, y — y, z — z). 



