KUNGL. SV. VET AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. NIO 4. 79 



Selbstverständlich erhalten wir am einfachsten die Gleichungen der Transforma- 

 tion, die uns hier beschäftigt hat, aus den Gleichungen (68) der N. 23 durch blosse 

 Hinzufiigung der immer geltenden Gleichung: 



ix - x"r- + {y- ifY + (z — z"Y = {R- R'r- 



und einer neuen Gleichung der Form: ' 



F{R,R") = 0. 



§ 7. 

 Eiii Satz iiber Ortliogoiialsysteme. 



46, In N. 10 ist gezeigt worden, dass die Charakteristiken der partiellen Dif- 

 ferentialgleichung eines Kugelkomplexes Krlimmungskiirven auf den Integralflächen 

 sind, und dass die eine Scliar von Haiiptkugeln derselben Integralflächen notwendig 

 jenem Kugelkomplexe zugehören. Von zwei involutorischen Kugelkomplexen, wor- 

 unter icli solche verstehe, deren partielie Differentialgleichungen involutorisch sind, 

 gilt es demnach, dass die zwei charakteristischen Richtungen, die diese Gleichungen 

 jedem ihrer gemeinsamen Flächenelemente zuordnen, als den zwei hiervon ausgehenden 

 Kriimmungskurven einer gemeinsamen Integralflächezugehörig, gegen einander senkrecht 

 werden. Auch gilt die Umkehrung dieses Satzes, dass, wenn immer fiir die gemeinsamen 

 Flächenelemente der partiellen Differentialgleichungen zweier Kugelkomplexe ihre 

 charakteristischen Richtungen auf einander senkrecht stehen, dieselben Kugelkomplexe 

 involutorisch sind. Es gelten nämlich nach den Gleichungen (i), (c) und (a) der N. 

 10 fiir die Richtungen der Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung 

 0{z, X, y,p, q) =-0 des Kugelkomplexes: 



(31) F(Z,X,,X,,X,)^0 



die Gleichungen : 



, , , 00 00 I 00 O0\ OF „ OF OF „ OF OF „ 

 ^ Oj) Oq Y Op ^ Oql dX^ ^OZ OX^ OZ OX3 



also auch fiir die nämlichen Richtungen beziiglich der partiellen Differentialgleichung 

 W {z, X, y, p, </) = O des Kugelkomplexes: 



(33) G{Z',X\,X'„X',)^Q 



die Gleichungen: 



,„,, j 1 1 ^G „, OG OG „, OG OG „, OG 



Wenn aber Z , Xi; Z' , X\ die Parameter zweier Kugeln bedeuten, die den Kugel- 



