80. A. v. BÄCKLUND, tJBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFOBMATIONEK. 



komplexen (31) bez. (33) zugehören und ein Flächenelement (zxypq) gemeinsam 

 haben, das auch fiir ö> = 0, ^F = gemeinsam ist, so wird' fiir dieses Flächenelement: 



Y V 



^» ^« — ^ yl ) ' — l)'^»'* 



und fiir die von demselben {z x y i) q) bestimmten charakteristischen Richtungen 

 (32), (34) kommt dann: 



(32') dx:dy:dz = {Z-Z')'l^^-{X,~X\)ll:{Z-Z')^-{X.-X%^-^-. 



bez. 



{) W i) w 



(34') dx, : d;,, : dz, - {Z - Z') /-|- - (.Y, - X\) \%-.{Z~ Z) ^^^ - (.Y, - A",) ^|, : 



Unter Beriicksichtigung der Relationen (1), (1') und (24') der N. 10 bestätigt 

 man hernach leicht die Identität der Orthogonalitätsbedingung 



dx dx, + dy dy^ + dz dz^ = O 



mit der Involutionsbedingung (n) derselben N. 



47. Ich nehme jetzt an, dass die K ugelkomplexe 



F = 0, (? = 



involutorisch sind und bezeichne mit A, A', A", . . . die gemeinsamen Tntegralflächen 

 derselben. Diejenigen Kriimmungskurven auf A , die zugleich Charakteristiken von 

 F = 0, öder rich tiger, Charakteristiken dessen partieller Differentialgleichung ö)==0 

 sind, bezeichne ich mit C , C^, C,, . . . und die derselben Art auf A' mit C, C\, C\, . . . ; 

 usw. Der Streifen, der durch C geht senkrecht auf A, wird im allgemeinen die 

 Fläclie A' nicht in einer Kriimmungskurve C schneiden. Er tut jedoch dies, wenn 

 beide Flächen einem Orthogonalsysteme zugehören. Auch leuchtet fast unmittelbar 

 ein, dass, wenn fiir sämtliche A, A', A", . . . und fiir sämtliche ihre Kriimmungskur- 

 ven C, (\, . . .; C, C\, . . .; C", C'\, . . . das nämliche zutrifft, so dass z, B. der durch 

 C\ und senkrecht auf A' gezogene Streifen auch C"i enthält, dann und nur dann 

 werden unsere A, A' A", . . . von ein und derselben einfach unendlichen Flächenschar 

 in den Kriimmungskurven C, C, C", . . .; Cj, C\, C'\, . . .; C.^, C\, C"^, . . . senkrecht 

 geschnitten. Diese neuen Flächen sind off enbär aus (x* Reihen von Streifen gebildet, 

 deren die der ersten Reilie längs C, Cj, C-,, . . . auf A senkrecht stehen und A' in 

 O' , C\ C\ . . . schneiden. Die der zweiten Reihe sind nach den letzteren Kurven 



1 Nach (m) N. 10. 



