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KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 81 



mit jenen ersten Streifen vereinigt, sie stehen senkrecht aiif A' und sie schneiden die 

 Fläche Ä" in C", 0"i, C" 2, . . . usw. Die Existenzbedingung einer solchen Integral- 

 schar der zwei Kugelkomplexe i^ = 0, </> = driickt sich demnach durch die Gleichung 

 aus: 



dxi d dx + dy^ å dy + dz^ d dz = 0, 



die uns sagt, dass das Linienelement {dxi, dyi, dz^ einer zweiten Kriimniungskiirve 

 auf A nicht nur gegen das Linienelement {dx, dy, dz) von C, sondern auch gegen 

 nächstliegendes Linienelement von C rechtwinklig gerichtet ist, öder: 



(35) [{Z - Z') G' (X'J - (X, — X\)G' iZ')] å [{Z - Z') F' (ZJ - (X, - X\) F' (Z)] 



+ [{Z — Z') G' (X',) — (X, — X',) G' {Z')] S [{Z — Z') F' (X.) — (X, — X',) F' (Z)] 

 + [{Z - Z') G' (X'3) - (X3 - X',) G' (Z')] d [(Z - Z') F' (X3) - (X3 - X'3) i^' (Z)] = 0, 



wobei allgemein durch öf diejenige Änderung bezeichnet wird, die beim Ubergange 

 von A zu A' längs einer Normale von A die Grösse / erleidet. 



Weil nun, wegen der involutorischen Bezieliung unserer Kugelkomplexe zu ein- 

 ander, nach der vorangehenden N. sowohl dx^dx + dy^dy + dz^dz^O als d[dTidx -t 

 + dyi dy + dz^ dz] = 0, und im angenommenen Falle dx^Sdx + dy^ ödy + dz^ ddz = 0, 

 so muss jetzt auch 



dx ödxi + dy å dy^ + dzd dz^ = 0. 



Wir erkennen hierin einen Satz von Darboux, der so lautet: wenn eine Flächenschar 

 von einer zweiten in ihren Kriimmungskurven der einen Art senkrecht geschnitten 

 wird, so wird sie es auch von einer dritten Flächenschar in ihren Kriimmungskurven 

 der zweiten Art. 



Also: die Gleichung {35) liefert U7is die nötige und hinreichende Bedingung dafiir, 

 dass A, A', A", . . . einem dreifachen Orthogonalsysteme zugehören. 



48. Statt 



Xj , X2 , X3 , Z 



fiihre ich wieder, wie in § 5, die kleinen Buchstaben a-i, »-2, a^a, z öder lieber rri, a-g» ^3» ^4 

 ein und bezeichne dann wie dort mit x^, . . . x^, x\, . . . x\ vorzugsweise die Parameter 

 soldier sich beriihrender Kugeln der gegebenen Kugelkomplexe: 



36) F{Xi,x.,X3, x^) = O, G{x\, x'.,,x'3,x\) = 0, 



deren Beriihrungselement {zxypq) eben den beiden partiellen Differentialgleichungen 



<D{z, X, y, p, q) = 0, W{z, x, y, p, q) =0 



der beiden Komplexe gemeinsam ist. Bedeutet dann weiter ds das infinitesimale 



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