82 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



Stiick zwischen Ä und A' der Normale auf (zxypq), welches ich als Flächenelement 

 von Ä auffasse, so sehen wir aus den Gleichungen: 



/y» /vt ryt rvt' »V» -y»' 



i = -, — '- = ^, usw., 



/y* /y*' ly ^ /\*' 



und unter der obigen Bedeutung des Differentialzeichens d, erstens dass 



/y» /y» /y _— _ 'y 



(5 .-t; = (Js ^ 3 !/_! = _ (Js ^^^ ^> v'_ ] , usw., 



/y* /y , ^' 



und dann durch Differentiierung der vorangehenden Gleichungen, dass: 



x\ ÖXi — x^ åx\ = v (.Ti — x\), 

 x\dx2 — x^öx'2'= v{x2 — x'.^), 



(a) x\ dx^ — x^ åx\ = v {x^ — x\) , 



x\8Xi X^^x\-={v — ÖsV —\){X^ — x\), 



wo besonders die letzte Gleichung die neue Grösse v definiert. 

 Es miissen offenbar auch die Gleichungen: 



(b) ^2 [Xi - x'i) Ö {Xi — x'i) = , 2F' (.Ti) d XI = , 3 (?' {x'i) Öx'i = O 



statthaben. Durch Multiplizierung jener (a) mit bez. .Tj — x\, . . . x^ — x\ und nach- 

 herige Addierung der Produkte schliessen wir dann vermittelst der ersten Gleichung 

 (b), dass 



4 



(c) ösV —■ I {x^ — x'^) = ^ {xi — x'i)dxi, 



1=1 



und ähnlicherweise leiten wir aus (a), aus (5) und den zwei letzten (b) die folgenden 

 Relationen her: 



2 F' (xi) d x'i = ds 1/^=^1 ?iZZ_^ r {X,) , 



i= 1 ^4 



f'" ■ . , , 



2 G' {x'i) c) Xi = -ÖsV—\ ^'_^^ G' {x\). 

 i=i ^ i 



Den Differentialen der zwéiten und der dritten der Gleichungen (5) geben wir 

 jetzt mit Hiilfe des Angefiihrten die Form: 



