KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 



2 (xi - x'i)dF' ixi) = ås V^^ ^i^^ F' {X,) , 



83 



(e) 



4 



X^ 



2 {xi-x'i)öG'ix'i) = dsV~i ^* , ^^ G'{x\) 



(=1 



Von der Bedeutung des Differentials der vierten der Gleichungen (5) habe ich 

 soeben gesprochen, weshalb nur die Reduktion der Gleichung (35) zuriicksteht, Sie 

 ergibt zunächst unter gehöriger Berucksichtigung von (5) : 



{x, — x\r- 2 G'{x'i)ÖF'{xi)+{x,-x',)å(x,~x',) V G'iz'i)F'{xi) - 



4 4 



(x, - x',) F' (X. ) 2 G' {x'i) ö {xi - x'i) - [x, - x\) G' {x\) 2 {xi - x'i)åF' {xi) = O , 



j=.i 



also wegen (d), (e) und der vierten der Gleichungen (5) : 



(f) y,G'{x;i)dF{xi)=^~dsV^^\'^^^F'{x,)G'{x\). 



j^^ /y» /vt 



1=1 



X t X 



■I'*' 4 



Jetzt brauchen wir nur in diese Gleichungen (d) — (f) den Wert (c) von ^5 ein- 

 zutragen, um zu erkennen, dass, damit die oo ^ Integrale der Kugelkoniplexe (36) in 

 einem Orthogonalsysteme enthalten sein sollen, es notwendig und hinreichend ist, 

 dass folgenden vier Differentialgleichungen: 



4 



^F'(x,)dxi=^0, 

 t=i 



2 \g' {x'i) + ^'^ {xi - x'i)\ <5 x-i = O , 



^r^, , - (PF F{x,). ,,], 



2 >(^^--^^)^-777¥, ^{x,-x,)Ux, = 0, 



d^F ^ F'{x,)G'{x\) 



! = 1 



2 2^'(^''^-) 



.^=1 



dxk<ix, 



X. X 



1 



{xi — xri)\8xi = 



durch dieselben Werte von åx2dxy, 8xJ8xi, åxjöxi Geniige geschieht. 

 Wenn also zu Abkurzung gesetzt wird: 



lF'{x,)^ 



(37) 



U^yF'{x,)ixu-x',)-'-^^^2(x,-x',r, 



Ä-=i 



2 x', 



Ä=] 



W=\G\x\)r{x,)^Y-^^^^^^\^^\{xu-x\)\ 



/.-=1 ' ^ Ä;=l 



