84 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDEUTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONBN. 



können wir die an eine Schar gemeinsamer Integralflächen der Kugelkomqilexe {36) ge- 

 stellte Forderung, dass sie einem Orthogonalsysteme zugehört, durch die Forderung des 

 gleichzeitigen Bestehens der folgenden Gleichungen jormulieren: 



(38) i^ = 0, G = 0, 2{-Xi — xUY = 0, U = 0, F = 0, W = 0, 



(39) \F'{x,), U'{x,), r{x,), W'{x,)\^0 



öder, ivas auj dasselbe hinauskommt, statt letzterer Gleichung jolgende: 

 (39') \G'{x\), U'{x\), V{x\), W'{x',)\ = 0. 



Es i st jedoch geriav zu beachten, dass hier der Komplex ^^-=0, also aucli x\ = 0, 

 aus den Puriktkugeln des Raumes bestehen ynuss, tvås fur die Formeln der zwei vorange- 

 henden Paragraphe7i keineswegs nolivendig war. 



49. Wenn F iind G nach .r^ bez. x^ aufgelöst vorliegen : 



F = z — f{xi, X2, X3)==0, G = z' ~fp{x\, x\, x\), Xi^z, x\^z', 



so finden wir die erste der eben verzeichneten Funktionaldeterminanten iinter der 

 Form: 



^(1 +v\+vl + K)(i + )>'; + ;/■ + i'l) (® + li?»'.-^,) + 



wobei zu Abkiirzung gesetzt ist: 



(D^V,,{x. — ^\f + 'P2.(«2 — ^'2)' + ]hz{^, — x\)'' + 2p,3(.T. — x\){x. - x',) + 



+ 2^,3 (,T, — x\ ) {x^ — x\) + 2 2>j3 {x^ — .T'2) {x^ — x\) , 

 W^p,,p'] + p,,p'l + p,,p'l + 2p,,p\p', + 2p,,p\p', + 2p,,p',p',. 



Das aus Jetzterer Gleichung und den vier Gleichungen (6) gebildete Gleichungs- 

 system wiirden wir also als eine analytische Definition aller Orthogonalsysteme auf- 

 f assen können. Damit muss die Integration unseres Gleichungssystems durch die- 

 jenige einer partiellen Ditferentialgleichung dritter Ordnung in drei unabhängigen 

 Variablen zu erreichen sein, denn durch eine solche Gleichung ist die allgemeinste 

 Flächenschar eines Orthogonalsystems gegeben.^ Das oben in § 5 behandelte System 

 von ebenfalls fiinf Gleichungen (7), die jedoch alle, als partielle Differentialgleichungen 



' Wie man zu letzterer Gleichung gelangt, ist etwa aus N. 38 meiner Abhandlung: Anwcndung von 

 Sätten uber partielle Differcntiahjleiclmngen etc. in Math. Ann. Bd. 40 leiclit zu ersebeu. 



