86 A. v. BÄCKLUND, UBER MEHRDETJTIGE FLÄCHENTRANSFORMATIONEN. 



F{x^, x^, x^, x^) m f(y,, 7j.,,. .y^), 

 G{x\, x\, x\, x\) in g{ij\, y\, . .tj\) 



iibergeht ; 



^{xi-xU)F{xi) = -'^i^^-J=^y\r{yu), 



,-1 2/..-!/'c^-l 



A=i 



X, h^ y, ' 



Demgemäss bringen wir statt der Funktionen (37) lieber die folgenden Funk- 

 tionen U, V, W in Rechnung: 



yi 



(43) 



V ^liyug'{y'u)-^!^2^yuy'k. 



W^lfiy^g'iy'^^-f^Ml^2-^-' 



y ■ 



yky'k. 



yiV 



51. Dass hierbei notwendig der Inbegriff aller Punkte des R^, als Kugeln vom 

 Radius null betrachtet, einen der Fundamentalkomplexe ?//, = 0, namentlich den Kom- 

 plex 1/^ = 0, ausmachen muss, ist aus dem vorangehenden Paragraphen ohne weiteres 

 klar. Nur wenn sich es allein von der Involution zweier Komplexe handelt, känn es 

 änders sein. Denn nach (5) driickt sich die Involutionsbedingung der zwei Komplexe: 



(44) j{y„ y,,..y,) = 0, g{y\, y',,..y'c)-0 



jetzt durch die Gleichungen aus: 



-• ' ^yl = 0, ^y'l = 0, 2yky'k = 0, 



(45) 



• . :^y'kr{yic) = 0, 2y,g'{y'k) = 0, 2f{yu)g'(y'k)^0, 



deren die zwei ersten durch die Identität (41) vorgeschrieben sind, — und keine 

 Orthogonaltransjormation {42) ändert die Form dieser Gleichungen. Sie driicken somit 

 auch in den allgemeinsten KLEiNschen Koordinaten die Involution von / = 0, g^O 

 aus. Hieraus erkennen wir z. B., dass irgend zwei konfokale Kugelkomplexe zweiten 

 Grades: 



<^«) IJir-o.lJi^^o 



involutorisch sind. Denn die drei letzten der Gleichung (45) werden jetzt der Form; 



