KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 50. N:0 4. 87 



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ak + K ' '^ ak + Aj ' ^ (»A + li){ak + I2) 



und das Produkt von h — ^i und dem linken Gliede der letzten Gleichnng wird gleich 

 der Differenz der linken Glieder der ersten und der zweiten Gleichung. Also redu- 

 zieren sich hier die seclis Gleichungen (45) auf nur fiinf unabhängige; sie werden 

 damit auch in Bezug auf eine beliebige Kugel des einen öder anderen Komplexes 

 mit einander verträglich. Deshalb miissen die zivei Komplexe {46) mit einander in In- 

 volution liegen, d. h. ihre partiellen Differentialgleichungen miissen go ^ Integralflächen 

 gemein liaben, Flächen, deren Hauptkugeln die beiden Komplexe ausfiillen. Dies ist 

 zuerst von Lie erwiesen worden. Siehe seine Abhandlung : Uber Complexe etc. in 

 Math. Ann. Bd. V (besonders S. 246—248 daselbst). 



Wenden wir auf die Formen (43) eine lineare und homogene Ortliogonaltrans- 

 formation der Grössen y^, y^, y^, ys, Va an, bei der also der Komplex ^4 = unge- 

 ändert gelassen wird, so finden wir auch jene Formen U, F, W hierbei ungeändert 

 und damit nocli immer die fiir eine Flächenschar eines Ortliogonals3^stems als Inte- 

 gralschar von (44) geltenden Bedingungsgleichungen durch blosse Hinzufiigung zu den 

 Gleichungen (45) der folgenden Gleichung: 



(47) die Determinante von /, Syr, U, V, W, ?/, = Null, 



bei der Berechnung dieser Determinante sämtliche y'i als Konstanten behandelt. 



Hier steht aber notwendig der Komplex 2/4 = als Inbegriff aller Punktkugeln. 

 Zusammen mit diesem Komplexe bilden die anderen ^^ = O ein solches System 

 KLEiNscher Fundamentalkomplexe allgemeinster Art, deren einer aus den Punktkugeln 

 besteht. 



Nehmen wir dann wieder zwei Komplexe (46) in Betracht, diesmal speziell 

 zwei, denen das zugehörende Achsensystem letzterer Art ist, so erkennen wir bald, dass 



und haben hieraus zu schliessen, dass im gegenwärtigen Falle die Funktionaldeter- 

 minante (47) identisch verschwindet und dass darum die gemeinsame Integrxilschar ir- 

 gend zivei konjokaler Kugelkomplexe zweiten Orades, fiir welche die Punktkugeln einen 

 der sechs Fundamentalkomplexe bilden, in ein Orthogonalsystem eingeht. Diesen Satz 

 habe ich im Jahre 1873 in meiner Abhandlung: Ett bidrag till kulkoinplexernas tlieori 

 in Lunds universitets årsskrift T. IX auf wesentlich dieselbe Weise dargetan. 



