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Diese Stellung ist die natürliche Stellung eines Menschen, sie 
heisse die Primärposition, und die Achsen 1, 2, 3 mögen als positiv 
gelten. 
Lässt man nun den Würfel um eine Achse, beispielsweise um. die 
Achse 2 als Drehungsachse, eine halbe Umdrehung machen, so werden 
zwei Dimensionen zugleich umgekehrt, Fläche „oben“ der Achse 1 
liegt jetzt unten, Fläche links der Achse 3 liegt jetzt rechts, oder mit 
anderen Worten, die beiden auf die Drehungsachse rechtwinklig stehenden 
Achsen 1 und 3 sind negativ geworden, während Achse 2 positiv blieb. 
Gegen die Primärposition 1 2 3 des Würfels kann man die umgekehrte 
Position daher durch 123 ausdrücken. LISTING nennt diesen Fall 
einer halben Umdrehung um eine der Achsen, wodurch die beiden 
anderen negativ werden, d. h. zwei Dimensionen zugleich umkehren, 
Inversion oder Umkehrung schlechthin. 
Stellt man denselben Würfel in der Primärstellung mit einer seiner 
Flüchen der Ebene eines Planspiegels parallel, so wird im kórperlichen 
Spiegelbilde nur diejenige Dimensionsachse negativ, d. h. umgekehrt, 
welche zur Spiegelebene senkrecht steht; z. B. die Fläche „hinten“ der 
Achse 2 wird im Spiegelbilde zur vorderen Fläche, die Endflüchen der 
beiden anderen Achsen dagegen bleiben im Spiegelbilde in gleicher 
Lage wie im Würfel die Achsen 1 und 3 bleiben daher positiv. Das 
Spiegelbild steht gegen die Primärstellung des Würfels in der Position 
123. Den Fall einer einzigen Dimensionsverkehrung nennt LISTING 
Perversion oder Verkehrung. 
Markirt man den Würfel nach der Position seines Spiegelbildes, 
schreibt man also auf die Fläche vorn der Achse 2 „hinten“ und a 
die Fläche hinten „vorn“, oder kürzer, wird die Achse 2 negativ, 
während die Achsen 1 und 3 unverändert bleiben, und lässt man 
alsdann den Würfel eine halbe Umdrehung um die negative Achse 
machen, so werden auch die beiden anderen Achsen negativ. Der 
Würfel ist also pervertirt und invertirt zugleich, alle drei Achsen 
sind negativ geworden und er steht gegen die Primärstellung in der 
Position 1 2 3. 
Diese Betrachtungen können unmittelbar auf symmetrische Ver- 
hältnisse angewendet werden. Mit Bezug auf die Vertirungen sind 
drei Grundformen der Symmetrie zu unterscheiden. 
l. Spiegel-Symmetrie. Wird ein Körper durch eine Ebene in 
zwei gleiche Theile zerlegt und ist eine Hälfte gegen die andere per- 
vertirt, so ist der Körper gegen die Ebene spiegelsymmetrisch 
oder univertirt. 
2. Diagonal-Symmetrie. Wird ein Körper durch eine Ebene 
in zwei gleiche Theile zerlegt und ist eine Hälfte gegen die andere | 
invertirt, so ist der Kórper gegen die Ebene diagonalsy mmetrisch 
