ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 49 



primitivement au repos, la vitesse de propagation est égale à la 

 vitesse normale du son, quel qae soit le mouvement qui se pro- 

 page tant qu'il ne s'y produit pas de discontinuités. Cette vitesse 

 n'est pas modifiée par les frottements : il en est de même pour 

 tous les fluides non conducteurs. 



Développement des fonctions implicites, par M. David. [Journal de 

 l'Ecole polytechnique, 5y^ cahier, p. 147-169.) 



Étant donnée une équation algébrique /(?/, x) = 0, déterminer 

 une série qui représente y ou plus généralement une fonction de 

 y au moyen de la variable x pour une valeur quelconque de x. 



Tel est le problème que M. David résout dans toute sa généralité. 



Pour y parvenir, il commence par établir la formule 



© (v, x) im -^- i o (y, x) 'ï-^ — i dy 



où ç [y,x) désigne une fonction uniforme de ?/, x et par suite une 

 fonction très générale d'une racine y de l'équation /(?/, a?) = ; 

 l'intégration se fait suivant un contour arbitraire tracé dans le 

 plan des y, mais qui ne doit pas dépasser un point singulier de 

 la courbe f[x, y) zn 0. On reconnait là une généralisation d'une 

 formule bien connue de Gauchy. 



Si maintenant [x^, yj désignant un point ordinaire, on isole 

 la somme Y des termes qui ne contiennent que y et qu'on mette 

 l'équation de la courbe sous la forme 



A...)=Y-(^)Ç, 



où Ç est une fraction rationnelle dont le numérateur ne devient 

 nul ni pour x=zx^, ni pour y =^1, et dont le dénominateur ne 

 devient pas nul pour y z= //j ; si l'on substitue ensuite cette valeur 

 de f{y, x) dans l'intégrale définie ci-dessus, on pourra développer 

 ? [y, x) en la série 



Cette série se réduit à celle de Lagrange dans le cas particulier 

 où la fonction § ne contient pas y. 



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