ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 51 



tion sont des cercles concentriques. Si l'on fait varier le rayon 

 d'un cercle, son centre restant fixe, la somme algébrique des 

 arcs décrits sur une courbe algébrique par les points de contact 

 est à chaque instant égale (à une constante près) à la variation 

 de la somme algébrique des longueurs des tangentes communes. 

 3° Cette proposition est d'ailleurs comprise dans celle-ci : 

 Les 2V points de contact avec une courbe algébrique de classe 



V des tangentes communes à cette courbe et à un cercle peuvent 

 être groupés deux à deux de manière à déterminer sur la courbe 



V arcs, dont la somme algébrique est égale à la somme algé- 

 brique des longueurs des tangentes communes. 



Cette proposition, appliquée aux coniques, donne immédiate- 

 ment le théorème de Graves et Chastes. 



M. Humbert signale encore, dans le même ordre d'idées, les 

 propositions suivantes : 



Si l'on mène à une courbe algébrique, ne passant pas par 

 les points cycliques du plan, les normales tangentes à un même 

 cercle, et si l'on fait ensuite varier le rayon de ce cercle, son 

 centre demeurant fixe, la somme algébrique des arcs décrits sur 

 la courbe par les pieds des normales varie proportionnellement 

 au rayon. 



Si l'on considère sur une courbe algébrique tous les points 

 pour lesquels le rayon de courbure a une longueur donnée, et si 

 l'on fait ensuite varier cette longueur, la somme algébrique des 

 arcs décrits par les points considérés est nulle. 



Sur quelques équations différeintielles non linéaires, par M. ft. 

 LiouviLLE. [Journal de V École polytechnique, 676 cahier, p. 189- 



25o). 



Il s'agit d'un type très général d'équations du second ordre : 

 celles dont l'intégrale générale 



^1 ?i (^' y) + ^2 ?2 [x^ y) + «3 ?3 (-^^ y) - ^ 



exprime une relation linéaire entre trois constantes arbitraires. 



L'étude de ces équations est intimement liée à celle des systèmes 

 d'équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre. 



M. R. Liouville commence par rechercher les conditions que 

 doit remplir un pareil système pour admettre trois ou bien quatre 

 intégrales distinctes. L'expression de ces conditions est notable- 



