52 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



ment facilitée par la considération d'un système adjoint que l'au- 

 teur enseigne à former. On est alors en mesure de trouver les 

 trois solutions communes à trois équations du second ordre li- 

 néaires aux dérivées partielles. Une méthode connue ramène la 

 recherche de ces solutions à l'intégration d'une seule équation 

 différentielle ordinaire, linéaire et du troisième ordre. Mais cette 

 équation contient en général un paramètre qu'il faut laisser 

 entièrement arbitraire et il est aisé d'imaginer ce qu'une pareille 

 obligation comporte de difficultés. Il est un cas cependant où aucun 

 paramètre arbitraire n'apparaît dans l'équation du troisième 

 ordre; c'est celui où l'une des équations du système proposé est 

 intégrable par la méthode de Laplace. Or M. Liouville montre que 

 l'on peut ramener tous les cas à celui-là. 



Cela fait, il peut aborder l'étude des équations différentielles or- 

 dinaires dont l'intégrale exprime une relation linéaire entre trois 

 constantes arbitaires. Toutes ces équations rentrent dans le type 



y" + «1 y" + 3a, y'-' + 3^3 y'-\-a,-{- o, 

 où les coefficients a^, «g, «3, a^, sont des fonctions de x et de y 

 assujetties seulement aux deux conditions 



à àa. \ à 



^-07 + '^'"') 



^ /^^i o \ , ^ l^ci-K àa 



— 3 a . a» 1 4- — — i — 9.^:— 



dx \ àx 



\ d /da. 0^2 , \ 



fda, àa, \ /da, \ 



- ^''^ il^ -' à^ + ''•''') + '^^ (1^ + ^ "' '^'j ="• 



Et l'intégrale s'obtient en égalant à zéro la solution générale 

 d'un système d'équations linéaires aux dérivées partielles du 

 second ordre 



o^z àz àz 



dy àx ày 



[àa^ àa, , . „, 1 



[ô«3 àa. , , ,, 1 



oz , ôz àz ^ [àa, àa. , ^ .,"1 



à'z àz àz 



àxày àx ^ ày 



