ANALYSES ET AISNONCES. — MATHEMATIQUES 53 



Il existe deux cas très étendus où ron peut obtenir sous forme 

 explicite les coefficients a^, «g, «3, a^ : 1° celui où ces coefficients 

 ne contiennent que l'une des variables x et y ; 2° celui où l'on a 



-1 2-— -j-a^a^ — 0, 



dy ox 



ou bien 



2- J^a^a^^ 0. 



dy ox 



Alors, d'après ce qui précède, l'équation non linéaire du second 



ordre est ramenée à une équation linéaire du troisième. 



Le premier de ces cas amène naturellement à l'étude de cer- 



di/ 

 taines équations du premier ordre, celles qui expriment -— par 



un polynôme du 3® degré en y; 



"^-^a.y'^-^^a.y'^+da.y'^a.-o. 



Une pareille équation est réductible aux quadratures si ces coef- 

 ficients supposés ne dépendre que de x, et leurs dérivées a/, a^', 

 «3', aj, satisfont à l'identité 



«, L' -|- KLt — 3 [a/ -|- 3 (« 5 — a^ «3 )J L mz 0, 



où K est une constante arbitraire, qui peut être nulle, et L l'ex- 

 pression 



En terminant, M. R. Liouville étudie en détail les équations de 



la forme simple 



y"^3a^y"-\-3a,y' = o 



et donne quelques exemples. 



Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de 

 l'espace, par M. Goursat. {Annales de VEcole normale, 3^ série, 

 t. VI, 1889, p. 9-102.) 



M. Goursat étudie les modes de division de l'espace en un 

 nombre fini de régions telles que l'une quelconque se déduise de 

 la première par une suite d'inversions. On sait que M. Poincaré. 



